Đáp án:

$a,$

Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :

`hat{BAH} = hat{CAH}` (Vì `AH` là đường phân giác)

`AH` chung

`AB = AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`AH` là đường phân giác

`-> AH` là đường cao

`-> AH⊥BC`

$\\$

$\\$

$b,$

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`AH` là đường phân giác

`-> AH` là đường trung tuyến

$\\$

Xét `ΔABC` có :

`BD` là đường trung tuyến

`AH` là đường trung tuyến

`AH` cắt `BD` tại `G`

`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`

$\\$

$\\$

$c,$

Xét `ΔBHG` và `ΔCHG` có :

`hat{BHG} = hat{CHG} = 90^o`

`BH = CH` (Vì `AH` là đường trung tuyến)

`GH` chung

`-> ΔBHG = ΔCHG` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{DBC} = hat{KCB}` (2 góc tương ứng)

$\\$

Xét `ΔDBC` và `ΔKCB` có :

`hat{B} = hat{C}` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)

`BC` chung

`hat{DBC} = hat{KCB}` (chứng minh trên)

`-> BK = DC` (2 cạnh tương ứng)

mà `DC = 1/2 AC, AC = AB`

`-> BK = 1/2 AB`

hay `K` là trung điểm của `AB`

$\\$

`-> CK` là đường trung tuyến

`-> CK` đi qua `G`

`-> C,G,K` thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a) Xét hai tam giác AHB và AHC có:

AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A)

$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (vì AH là phân giác của $\widehat{BAC}$)

AH là cạnh chung

Vậy ΔAHB = ΔAHC (c - g - c)

b) Ta có: BH = HC (vì ΔAHB = ΔAHC)

Do đó AH là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A

Lại có BD là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B (vì D là trung điểm AC)

Mà AH cắt BD tại G

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC

c) Ta có: $\widehat{AHK}=\widehat{CAH}$ (vì AC // HK; so le trong)

Mà $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (cmt)

Nên $\widehat{BAH}=\widehat{KAH}=\widehat{AHK}$

Do đó tam giác AHK cân tại K

=> AK = HK (1)

Lại có: $\widehat{ACH}=\widehat{KHB}$ (vì AC // HK; đồng vị)

Mà $\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$ (vì ΔAHB = ΔAHC)

Nên $\widehat{ABH}=\widehat{KBH}=\widehat{KHB}$

Do đó tam giác KBH cân tại K

=> BK = HK (2)

Từ (1) và (2) => AK = KB

Do đó CK là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh C đi qua trọng tâm G

Vậy ba điểm C, G, K thẳng hàng