Đáp án: $b)AI=3cm;CI=5cm$

Giải thích các bước giải:

Bạn tự vẽ h

$a)$ Xét $ΔAHC$ và $ΔBAC$ có:

$∠AHC=∠BAC=90^o$

$∠ACB$ chung

`⇒ΔAHC~ΔBAC` (góc - góc) (đpcm)

$b)$ Xét $ΔABC$ vuông tại $A$

$⇒BC^2=AB^2+AC^2$ (định lí Pytago)

$⇒BC^2=6^2+8^2=100$

$⇒BC=10(cm)$ (do $BC>0$)

Xét $ΔABC$ có $BI$ là phân giác

`⇒\frac{AI}{CI}=\frac{AB}{BC}` (tính chất đường phân giác trong tam giác)

`⇒\frac{AI}{CI}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}⇒\frac{AI}{3}=\frac{CI}{5}`

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

`\frac{AI}{3}=\frac{CI}{5}=\frac{AI+CI}{3+5}=\frac{AC}{8}=\frac{8}{8}=1`

$⇒\begin{cases}AI=3(cm)\\CI=5(cm)\end{cases}$

$c)$ Xét $ΔABI$ và $ΔKCI$ có:

$∠BAI=∠CKI=90^o$

$∠AIB=∠KIC$ ($2$ góc đối đỉnh)

`⇒ΔABI~ΔKCI` (góc - góc)

`⇒\frac{AI}{KI}=\frac{BI}{CI}⇒\frac{AI}{BI}=\frac{KI}{CI}`

Xét $ΔAKI$ và $ΔBCI$ có:

$∠AIK=∠BIC$ ($2$ góc đối đỉnh)

`frac{AI}{BI}=\frac{KI}{CI}(cmt)`

`⇒ΔAKI~ΔBCI` (cạnh - góc - cạnh)

$⇒∠AKI=∠BCI$ ($2$ góc tương ứng) $⇒∠AKB=∠BCA(1)$

Xét $ΔBHA$ và $ΔBAC$ có:

$∠BHA=∠BAC=90^o$

$∠ABC$ chung

`⇒ΔBHA~ΔBAC` (góc - góc)

$⇒∠BAH=∠BAC(2)$ ($2$ góc tương ứng)

Từ $(1);(2)⇒∠AKB=∠BAH(đpcm)$

Em tham khảo:

a/Xét ΔAHC và ΔBAC có

    $\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90$

    $\widehat{BCA}$ chung

Do đó ΔAHC đồng dạng ΔBAC $(g.g)$

b/ΔABC vuông tại A

⇒$AB^{2}+AC^2=BC^2$

⇔$6^{2}+8^2=BC^2$

⇔$BC=10$ $(cm)$  

BI là tia phân giác

⇒$\dfrac{AI}{IC}=$$\dfrac{AB}{BC}=$$\dfrac{3}{5}$

Lại có $AC=8cm$ 

⇒$AI=3cm$

   $IC=5cm$

c/Tứ giác ABCK có BAC=BKC=90

Và cùng chắnBC

Do đó ABCK nội tiếp

Suy ra AKB=ACB (cùng chắn AB)

Mà ACB=BAH

Suy ra AKB=BAH 

Học tốt