a)

Không thể chứng minh $AD.BD=BK.AH$

Xét $\Delta AHD$ và $\Delta BKD$, ta có:

+   $\widehat{ADH}$ là góc chung

+   $\widehat{AHD}=\widehat{BKD}=90{}^\circ $

$\to \Delta AHD\sim\Delta BKD\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AH}{BK}$

b)

Vì $\Delta AHD\sim\Delta BKD$

$\to \dfrac{DH}{DA}=\dfrac{DK}{DB}$

Lại có $\widehat{ADH}$ chung

$\to \Delta DHK\sim\Delta DAB\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{DKH}=\widehat{DBA}=45{}^\circ $

c)

Ta có $BK\bot AD$ và $AD//EC$

$\to BK\bot EC$

$\to M$ là trực tâm của $\Delta EBC$

$\to EM\bot BC$

$\to \widehat{MEA}+\widehat{ABC}=90{}^\circ $

$\to \widehat{MEA}=45{}^\circ $

$\to \Delta MAE$ vuông cân tại $A$

d)

$\Delta ABD$ có hai đường cao $AH,BK$ cắt nhau tại $I$

$\to I$ là trực tâm của $\Delta ABD$

$\to DI\bot AB$ tại $N$

Xét $\Delta ABK$ và $\Delta ADN$, ta có:

+   $\widehat{BAD}$ là góc chung

+   $\widehat{AKB}=\widehat{AND}=90{}^\circ $

$\to \Delta ABK\sim\Delta ADN\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AN}{AD}$

Lại có $\widehat{BAD}$ chung

$\to \Delta AKN\sim\Delta ABD\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{ANK}=\widehat{ADB}$

Tương tự: $\widehat{BNH}=\widehat{ADB}$

$\to \widehat{ANK}=\widehat{BNH}$

Mà $\widehat{ANK}+\widehat{DNK}=90{}^\circ $

Và $\widehat{BNH}+\widehat{DNH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{DNK}=\widehat{DNH}$

$\to ND$ là tia phân giác $\widehat{KNH}$