a)

Ta có $\Delta CEK$ và $\Delta CHK$ lần lượt vuông tại $E$ và $H$

$\to C,E,K,H$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $CK$

b)

$\Delta AEK$ vuông tại $E$, trung tuyến $EI$

$\to IE=IA\to \Delta IEA$ cân tại $I\to \widehat{IEA}=\widehat{IAE}$

$\Delta BEC$ vuông tại $E$, trung tuyến $EH$

$\to HE=HC\to \Delta HEC$ cân tại $H\to \widehat{HEC}=\widehat{HCE}$

$\to \widehat{IEA}+\widehat{HEC}=\widehat{IAE}+\widehat{HCE}$

$\to \widehat{IEA}+\widehat{HEC}=90{}^\circ $

$\to 180{}^\circ -\widehat{IEH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{IEH}=90{}^\circ $

$\to HE\bot IE$

c)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta AHB$ vuông tại $H$

Ta có $A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}$

$\to AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8cm$

Xét $\Delta HBK$ và $\Delta HAC$, ta có:

+   $\widehat{BHK}=\widehat{AHC}=90{}^\circ $

+   $\widehat{HBK}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

$\to \Delta HBK\sim\Delta HAC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HK}{HC}$

$\to HK=\dfrac{HB.HC}{HA}=\dfrac{6.6}{8}=4,5cm$

$\to AK=AH-HK=8-4,5=3,5cm$

Ta có $\Delta AKE$ vuông tại $E$ với $I$ là trung điểm $AK$

$\to I$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKE$

$\to $Bán kính là $IE=\dfrac{AK}{2}=\dfrac{3,5}{2}=1,75cm$