Đáp án:

a) $AB//CD$ ($D\in Cx$, $Cx//AB$)

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{BCD}$ (cặp góc so le trong). 

$H\in BC\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ABH}$.

$K\in BC\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{KCD}$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{KCD}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABH$ và $\Delta CDK$ có:

$AB=CD$ (giả thiết).

$\widehat{ABH}=\widehat{KCD}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow\Delta ABH=\Delta CDK$ (cạnh huyền-góc nhọn).

$\Rightarrow AH=DK$ (hai cạnh tương ứng).

b) $AH\,\bot\,BC,DK\,\bot\,BC$

$\Rightarrow AH//DK$ (từ vuông góc đến song song).

$\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{ADK}$ (cặp góc so le trong).

$O\in AD\Rightarrow\widehat{OAH}=\widehat{HAD}$

$O\in AD\Rightarrow\widehat{KDO}=\widehat{ADK}$

Mà $\widehat{HAD}=\widehat{ADK}\Rightarrow\widehat{OAH}=\widehat{KDO}$

Xét hai tam giác vuông $\Delta AHO$ và $\Delta DKO$ có:

$AH=DK$ (chứng minh trên).

$\widehat{OAH}=\widehat{KDO}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow\Delta AHO=\Delta DKO$ (góc-cạnh-góc).

$\Rightarrow\widehat{AOH}=\widehat{KOD}$ (hai góc tương ứng).

Mà $OH\equiv OK$ ($O\in HK$) 

$\Rightarrow \widehat{AOH}$ đối đỉnh $\widehat{KOD}$.

$\Rightarrow OA\equiv OD\Rightarrow A,O,D$ thẳng hàng.

c) Xét hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta BCD$ có:

$AB=CD$ (chứng minh trên).

$\widehat{ABC}=\widehat{BCD}$ (chứng minh trên).

$BC$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta ABC=\Delta BCD$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{CBD}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow AC//BD$ (cặp góc so le trong).