a)

Xét $\Delta BCD$ và $\Delta CFB$, ta có:

+   $\widehat{BCD}=\widehat{CFB}=90{}^\circ $

+   $\widehat{BDC}=\widehat{CBF}$ (cùng phụ $\widehat{CBD}$)

$\to \Delta BCD\sim\Delta CFB\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{BC}{CF}=\dfrac{BD}{CB}$

$\to C{{B}^{2}}=BD.CF$

b)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta BCD$ vuông tại $C$

Ta có $B{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}$

$\to B{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}$

$\to B{{D}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25$

$\to BD=5cm$

Ta có $C{{B}^{2}}=BD.CF\left( cmt \right)$

$\to CF=\dfrac{C{{B}^{2}}}{BD}=\dfrac{{{3}^{2}}}{5}=1,8cm$

c)

Ta có $CF//BD$ (cùng vuông góc $BE$)

Theo hệ quả của định lý Ta-let:

Xét $\Delta EOD$ có $IC//OD\to \dfrac{IC}{OD}=\dfrac{EI}{EO}$

Xét $\Delta EOB$ có $IF//OB\to \dfrac{IF}{OB}=\dfrac{EI}{EO}$

$\to \dfrac{IC}{OD}=\dfrac{IF}{OB}$

Mà $OD=OB$

$\to IC=IF$

$\to I$ là trung điểm $CF$

Theo hệ quả của định lý Ta-let:

Ta có $CI//OB$ và $OI$ cắt $BC$ tại $K$

$\to \dfrac{BK}{CK}=\dfrac{BO}{CI}=\dfrac{2BO}{2CI}=\dfrac{BD}{CF}$

Lại có $\widehat{KBD}=\widehat{KCF}$ (hai góc so le trong)

$\to \Delta BKD\sim\Delta CKF\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{BKD}=\widehat{CKF}$

Mà $\widehat{BKD}+\widehat{CKD}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

$\to \widehat{CKF}+\widehat{CKD}=180{}^\circ $

$\to \widehat{DKF}=180{}^\circ $

$\to D,K,F$ thẳng hàng