a)

Vì $AK$ là đường kính của $\left( O \right)$

$\to AC\bot CK$ và $AB\bot BK$

Mà $AC\bot BH$ và $AB\bot CH$

$\to CK//BH$ và $BK//CH$

$\to BHCK$ là hình bình hành

b)

Gọi $M$ là giao điểm $BC$ và $HK$

$\to M$ vừa là trung điểm $BC$, vừa là trung điểm $HK$

$\to OM\bot BC$ (quan hệ đường kính – dây cung)

Xét $\Delta AHK$ có $O,M$ lần lượt là trung điểm $AK,HK$

$\to OM$ là đường trung bình của $\Delta AHK$

$\to OM//AH$ và $AH=2OM$

Vậy: $A{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}$

$={{\left( 2OM \right)}^{2}}+2{{\left( CM \right)}^{2}}$

$=4\left( O{{M}^{2}}+C{{M}^{2}} \right)$

$=4O{{C}^{2}}=4{{R}^{2}}={{4.5}^{2}}=100$

c)

Lấy $I$ đối xứng với $O$ qua $M$$\to I$ cố định

Ta có $M$ vừa là trung điểm $BC$, vừa là trung điểm $OI$

Mà $BC\bot OI$ tại $M$

$\to BOCI$ là hình thoi

$\to IB=IC=OB=OC=R$

Ta có $AH=2OM$ và $AH//OM$

$\to AH=OI$ và $AH//OI$

$\to AHIO$ là hình bình hành

$\to IH=OA=R$

Vậy $IB=IC=IH=R$

$\to H$ di động trên đường tròn tâm $\left(I;R\right)$