a) Xét ΔMAB và ΔMEB có:

∠MAB=∠MEB=90° (GT)

BM cạnh chung

∠ABM=∠EBM (GT)

Vậy ΔMAB=ΔMEB  (cạnh huyền - góc nhọn)

=> MA=ME (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔMEC vuông tại E ⇒ ME<MC

Mà MA=ME (chứng minh trên) nên ⇒ MA<MC

b) Ta có $\left \{ {{∠MBE+∠BME=90° (ΔMEB vuông tại E)} \atop {∠MBE+∠BHD=90° (ΔHDB vuông tại D)}} \right.$

⇒ ∠BME=∠BHD

Mà $\left \{ {{∠BHD=∠AHM (hai góc đối đỉnh)} \atop {∠BME=∠BMA (ΔMAB=ΔMEB)}} \right.$

⇒ ∠AHM=∠AMB

⇒ ΔAMH cân tại A

c) Ta có: DH+DQ=DH+AQ+AD

                           =2.(DH+AH)=2AD

Xét ΔBAD vuông tại D ⇒ AD<AB ⇒ 2AD<2AB hay DH+DQ<2AB

Đáp án:

$a/$

Xét `ΔMAB` và `ΔMEB` có :

`hat{MAB} = hat{MEB} = 90^o`

`BM` chung

`hat{ABM} = hat{EBM}` (Vì `BM` là tia phân giác của `hat{B}`)

`-> ΔMAB = ΔMEB` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> MA = ME` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔMEC` vuông tại `E` có :

`MC` là cạnh lớn nhất

`-> MC > ME`

mà `MA = ME`

`-> MA < MC`

$\\$

$\\$

$b/$

Vì `ΔMAB = ΔMEB` (chứng minh trên)

`-> hat{HMA} = hat{HME}` (2 góc tương ứng)

Ta có : `AD⊥BC, EM⊥BC`

$→ AD//EM$

`-> hat{AHM} = hat{HME}` (2 góc so le trong)

mà `hat{HMA} = hat{HME}`

`-> hat{AHM} = hat{HMA}`

`-> ΔAMH` cân tại `A`

$\\$

$\\$

$c/$

Ta có : `DH + HQ`

`= HD + AD + AQ`

`= DH + DH + AH + AH`

`= 2DH + 2AH`

`= 2 (DH + AH)`

`= 2AD`

Xét `ΔBDA` vuông tại `D` có :

`BA` là cạnh lớn nhất

`-> BA > AD`

`-> 2BA > 2AD`

mà `2AD = HD + DQ`

`-> DH + DQ < 2BA`