a)

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$, ta có:

+   $AM$ là cạnh chung

+   $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90{}^\circ $

+   $AB=AC\left( gt \right)$

$\to \Delta ABM=\Delta ACM\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

$\to AM$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$

b)

Vì $MI//AC$

$\to \widehat{NMB}=\widehat{ACM}=\widehat{ABM}$

Xét $\Delta AMB$ vuông tại $M$ và $\Delta NBM$ vuông tại $B$, ta có:

+   $MB$ là cạnh chung

+   $\widehat{ABM}=\widehat{NMB}\left( cmt \right)$

$\to \Delta AMB=\Delta NBM\left( cgv-gn \right)$

c)

Vì $\widehat{NMB}=\widehat{ABM}\left( cmt \right)$

$\to \Delta IBM$ cân tại $I$

$\to IB=IM$

Ta có

$\widehat{NMB}+\widehat{IMA}=90{}^\circ $

$\widehat{ABM}+\widehat{IAM}=90{}^\circ $

Mà $\widehat{NMB}=\widehat{ABM}\left( cmt \right)$

$\to \widehat{IMA}=\widehat{IAM}$

$\to \Delta IAM$ cân tại $I$

$\to IA=IM$

$\to IA=IB$

$\to I$ là trung điểm $AB$

d)

Chứng minh tương tự câu c

Ta có $I$ là trung điểm $MN$

Xét $\Delta IAN$ và $\Delta IBM$, ta có:

+   $IA=IB$

+   $IN=IM$

+   $\widehat{AIN}=\widehat{BIM}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta IAN=\Delta IBM\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{IAN}=\widehat{IBM}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

$\to AN//BC$