Giải thích các bước giải:

 a) Ta có

$AH\bot BD\to AH$ là đường cao của tam giác $ABD$

Mà $H$ là trung điểm của $BD$ $\to AH$ là trung tuyến của tam giác $ABD$

$\to AH$ đồng thời là trung tuyến và đường cao ứng với cạnh $BD$ của tam giác $ABD$

$\to \Delta ABD$ cân ở $A$

b) Ta có

 Do $\Delta ABD$ cân ở $A$ và $AH$ là đường cao của tam giác $ABD$

$\to AH$ là phân giác góc $A$

$\to $$\widehat {DAH} = \widehat {BAH}$

Mà lại có:$\widehat {BAH} = \widehat {ACB}\left( \text{Hai góc cùng phụ với}{\widehat {ABC}} \right)$

$ \Rightarrow \widehat {DAH} = \widehat {ACB}$

c) Ta có:

Xét tam giác $DAH$ và tam giác $DCE$ có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADH} = \widehat {CDE}\left( {dd} \right)\\
\widehat {DHA} = \widehat {DEC} = {90^0}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \widehat {DAH} = \widehat {DCE}
\end{array}$

Mà $\widehat {DAH} = \widehat {ACB}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {DCE}\\
 \Rightarrow \widehat {DCA} = \widehat {DCE}
\end{array}$

$\to CB$ là phân giác của $\widehat{ACE}$

d) Gọi $F$ là giao điểm của $CE$ và $AH$

Ta có:

Xét $\Delta ACF$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}
CH \bot AF = H\\
AE \bot CF = E\\
CH \cap AE = D
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow D$ là trực tâm của tam giác $ACF$

$\to FD\bot AC$

Mà $DI\bot AC$

$\to I,D,F$ thẳng hàng,

$\to AH,ID,CE $ đồng quy tại $F$

e) Ta có:

$\Delta ABD$ cân ở $A$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {ADB} < {90^0}\\
 \Rightarrow \widehat {ADC} > {90^0}
\end{array}$

Như vậy: $\Delta ADC$ là tam giác tù.

$\to AC$ là cạnh lớn nhất của tam giác.

$\to AC>CD$

f) Nếu $I$ là trung điểm của $AC$ thì ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
CI = AI\\
\widehat {CID} = \widehat {AID} = {90^0}\\
IDchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta CID = \Delta AID\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {CDI} = \widehat {ADI}\left( 1 \right)
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
DI \bot AC\\
 \Rightarrow DI//AB\\
 \Rightarrow \widehat {CDI} = \widehat {ABD}\left( 2 \right)
\end{array}$

Mặt khác:

$\Delta ABD$ cân ở $A$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {ADB}\left( 3 \right)$

Từ $(1),(2),(3)$ ta có: 

$\begin{array}{l}
\widehat {CDI} = \widehat {ADI} = \widehat {ABD}\\
 \Rightarrow \widehat {CDI} = \widehat {ADI} = \widehat {ABD} = \dfrac{{\widehat {CDI} + \widehat {ADI} + \widehat {ABD}}}{3} = \dfrac{{{{180}^0}}}{3} = {60^0}\\
 \Rightarrow \widehat {ABD} = {60^0}\\
 \Rightarrow \widehat {ABC} = {60^0}
\end{array}$

Vậy tam giác $ABC$ có $\widehat {ABC} = {60^0}$ thì $I$ là trung điểm của $AC$