a)

Xét $\Delta BEM$ vuông tại $E$ và $\Delta CFM$ vuông tại $F$, ta có:

+   $MB=MC$ (vì $AM$ là trung tuyến)

+   $\widehat{EBM}=\widehat{FCM}$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\to \Delta BEM=\Delta CFM\left( ch-gn \right)$

b)

Xét $\Delta AEM$ vuông tại $E$ và $\Delta AFM$ vuông tại $F$, ta có:

+   $AM$ là cạnh chung

+   $ME=MF$ (vì $\Delta BEM=\Delta CFM$)

$\to \Delta AEM=\Delta AFM\left( ch-cgv \right)$

$\to AE=AF$ và $ME=MF$

$\to A,M$ thuộc đường trung trực của $EF$

$\to AM$ là đường trung trực của $EF$

c)

Vì $AM$ là đường trung trực của $EF$

$\to \widehat{EAM}=\widehat{FAM}$

$\to AM$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $B$ và $\Delta ACD$ vuông tại $C$, ta có:

+   $AD$ là cạnh chung

+   $AB=AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\to \Delta ABD=\Delta ACD\left( ch-cgv \right)$

$\to \widehat{BAD}=\widehat{CAD}$

$\to AD$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$

Mà $AM$ cũng là tia phân giác $\widehat{BAC}$

$\to AM\equiv AD$

$\to A,M,D$ thẳng hàng

d)

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$, ta có:

+   $AM$ là cạnh chung

+   $AB=AC$

+   $MB=MC$

$\to \Delta AMB=\Delta AMC\left( c.c.c \right)$

$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180{}^\circ $ (kề bù)

$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

$\to AD\bot BC$ tại $M$

Ta có:

+   $ME=MF$ (vì $\Delta BEM=\Delta CFM$)

+   $MF<MC$ (vì $\Delta CFM$ vuông tại $F$)

+   $MC<CD$ (vì $\Delta CMD$ vuông tại $M$)

$\to ME<CD$