`a,`

`x^2-2(m+3)x+4m-1=0(1)`

`\Delta'=(m+3)^2-(4m-1)`

`=m^2+6m+9-4m+1`

`=m^2+2m+1+9`

`=(m+1)^2+9`

Để phương trình `(1)` có 2 nghiệm thì `\Delta'>=0`

Mà `(m+1)^2>=0`

`=>(m+1)^2+9>=9>0∀m`

Vậy phương trình `(1)` luôn có 2 nghiệm phân biệt

`b,`

Do phương trình `(1)` luôn có 2 nghiệm phân biệt nên theo vi-ét ta có 
$\begin{cases}x_1+x_2=2m+6\\x_1x_2=4m-1\\\end{cases}$

Để phương trình có 2 nghiệm dương thì 

$\begin{cases}x_1+x_2\ge 0\\x_1x_2\ge 0\\\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}2m+6\ge 0\\4m-1\ge 0\\\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}m\ge -3\\m\ge \dfrac{1}{4}\\\end{cases}$

`=>m>=1/4` 

Vậy với `m>=1/4` thì phương trình có 2 nghiệm nguyên

`b,`

Theo hệ thức vi-ét

$\begin{cases}x_1+x_2=2m+6\\x_1x_2=4m-1\\\end{cases}$

`=>2(x_1+x_2)-x_1x_2=2(2m+6)-(4m-1)`

`=4m+12-4m+1`

`=13`

Vậy `x_1` và `x_2` liên hệ với nhau qua hệ thức `2(x_1+x_2)-x_1x_2`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 `x^2-2(m+3)x+4m-1=0`   `(1)`

`a)` `Delta=[-2(m+3)]^2-4.1.(4m-1)`

`=4(m^2+4m+4)-16m+4`

`=4m^2+16m+16-16m+4`

`=4m^2+20\geq20>0∀m∈RR`

Vậy phương trình `(1)` luôn có 2 nghiệm phân biệt.

`b)` Theo phần a, phương trình `(1)` luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m+6\\x_1x_2=4m-1\\\end{cases}$

Để phương trình có 2 nghiệm dương thì: $\begin{cases}2m+6\geq0\\4m-1\geq0\\\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}m\geq-3\\m\geq\dfrac{1}{4}\\\end{cases}$`<=>m\geq1/4`

Vậy khi `m\geq1/4` thì phương trình có 2 nghiệm dương.

`c)` Theo phần b, ta có hệ thức Vi - ét: $\begin{cases}x_1+x_2=2m+6\\x_1x_2=4m-1\\\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}2(x_1+x_2)=2(2m+6)\\x_1x_2=4m-1\\\end{cases}$`<=>`$\begin{cases}2(x_1+x_2)=4m+12\\x_1x_2=4m-1\\\end{cases}$

`=>2(x_1+x_2)-x_1x_2=13` 

Vậy hệ thức liên hệ giữa `x_1;x_2` không phụ thuộc vào `m` là: `2(x_1+x_2)-x_1x_2=13`