`a)` Ta có:

`\hat{ACB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O))$

`=>\hat{MCN}=90°`

Mà `\hat{MCN}=90°=1/ 2 sđ\stackrel\frown{MN}` (góc nội tiếp chắn cung $MN$ của $(I))$

`=>sđ\stackrel\frown{MN}=180°`

`=>MN` là đường kính của $(I)$

`=>M;I;N` thẳng hàng 

$\\$

`b)` Ta có:

`\qquad IC=IN=`(bán kính của $(I))$

`=>∆ICN` cân tại $I$

`=>\hat{INC}=\hat{ICN}=\hat{OCB}`

$\\$

`\qquad OC=OB=`(bán kính của $(O))$

`=>∆OBC` cân tại $O$

`=>\hat{OBC}=\hat{OCB}`

$\\$

`=>\hat{INC}=\hat{OBC}`

Mà `\hat{INC};\hat{OBC}` ở vị trí đồng vị 

`=>IN`//$OB$

`=>MN`//$AB$ $(1)$

$\\$

Mà `(I)` tiếp xúc với $AB$ tại $D$

`=>ID`$\perp AB$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>ID`$\perp MN$

$\\$

`c)` Gọi $E$ là giao điểm của $CD$ và $(O)$ $(E\ne C)$

Ta có:

`\qquad IC=ID=`(bán kính của $(I))$

`=>∆ICD` cân tại $I$

`=>\hat{IDC}=\hat{ICD}=\hat{OCE}`

$\\$

`\qquad OC=OE=`(bán kính của $(O))$

`=>∆OCE` cân tại $O$

`=>\hat{OEC}=\hat{OCE}`

`=>\hat{IDC}=\hat{OEC}`

Mà `\hat{IDC};\hat{OEC}` ở vị trí đồng vị 

`=>ID`//$OE$

Mà $ID\perp AB$

`=>OE`$\perp AB$ tại $O$

`=>OE` là trung trực của $AB$

`=>EA=EB`

`=>\stackrel\frown{EA}=\stackrel\frown{EB}` (liên hệ dây và cung)

`=>E` là điểm chính giữa cung $AB$

Vì `AB` cố định nên $E$ cố định 

`=>CD` luôn đi qua điểm chính giữa $E$ của cung $AB$ $(E$ khác phía với $C$ so với đường thẳng $AB$)

$\\$

Cách dựng đường tròn $(I)$:

+) Gọi $E$ là  điểm chính giữa cung $AB$ $(E$ khác phía với $C$ so với đường thẳng $AB$)

+) Gọi $D$ là giao điểm của $CE$ và $AB$

+) Đường vuông góc với $AB$ tại $D$ cắt $OC$ tại $I$

+) Vẽ đường tròn tâm $I$ bán kính $IC$ chính là đường tròn thỏa đề bài