Gọi tâm đường tròn đường kính BC là O

a, Xét (O), đường kính BC có:

+ E ∈ (O) ⇒ $\widehat{BEC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ CE ⊥ AB ⇒ HE ⊥ AB ⇒ $\widehat{HEA}=\widehat{HEB}=90°$

+ F ∈ (O) ⇒ $\widehat{BFC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ BF ⊥ AC ⇒ HF ⊥ AC ⇒ $\widehat{HFA}=\widehat{HFC}=90°$

Xét tứ giác AEHF có: $\widehat{HEA}+\widehat{HFA}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH

b, Xét ΔABC có:

BF ⊥ AC (cmt)

CE ⊥ AB (cmt)

BF cắt CE tại H

⇒ H là trực tâm của ΔABC

⇒ AH ⊥ BC 

mà AH cắt BC tại N

⇒ AN ⊥ BC ⇒ HN ⊥ BC ⇒ $\widehat{HNB}=\widehat{HNC}=90°$

Xét tứ giác HFCN có: $\widehat{HFC}+\widehat{HNC}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác HFCN nội tiếp đường tròn đường kính HC

⇒ $\widehat{HFN}=\widehat{HCN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{HN}$)

Hay $\widehat{HFN}=\widehat{ECB}$

Xét (O) có: $\widehat{EFB}=\widehat{ECB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{EB}$)

⇒ $\widehat{HFN}=\widehat{EFB}$

⇒ FB là phân giác $\widehat{EFN}$

c, Xét ΔANC vuông tại tại N (AN ⊥ BC) có:

$\widehat{NAC}+\widehat{ACN}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\widehat{FAH}+\widehat{ACB}=90°$

Xét ΔBFC vuông tại tại N (BF ⊥ AC) có:

$\widehat{FBC}+\widehat{FCB}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\widehat{FBC}+\widehat{ACB}=90°$

Mà $\widehat{FAH}+\widehat{ACB}=90°$ (cmt)

⇒ $\widehat{FAH}=\widehat{FBC}$

Xét ΔFAH vuông tại F ($\widehat{HFA}=90°$) và ΔFBC vuông tại F ($\widehat{BFC}=90°$) có:

AH = BC (gt)

$\widehat{FAH}=\widehat{FBC}$ (cmt)

⇒ ΔFAH = ΔFBC (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ FA = FB (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔFAB vuông tại F (BF ⊥ AC) có: FA = FB (cmt)

⇒ ΔFAB vuông tại F

⇒ $\widehat{FAB}=45°$ Hay $\widehat{BAC}=45°$