Đáp án:

a) Xét hai tam giác $\Delta AHI$ và $\Delta BMI$ có:

$IA=IM$ (giả thiết).

$\widehat{AIH}=\widehat{BIM}$ (cặp góc đối đỉnh).

$BI=HI$ ($I$ là trung điểm của $BH$).

$\Rightarrow\Delta AHI=\Delta BMI$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow BM=AH$ (hai cạnh tương ứng)*.

$\Delta ABM$ có $AB+BM>AM$ (bất đẳng thức tam giác).

Mà $BM=AH$ nên $AB+AH>AM$*.

b) Xét hai tam giác $\Delta ABI$ và $\Delta MHI$ có:

$AH=BM$ (chứng minh trên).

$IA=IM$ (giả thiết).

$BI=HI$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow\Delta ABI=\Delta MHI$ (cạnh-cạnh-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{IAB}=\widehat{HMI}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow MH//AB$ (cặp góc so le trong).

c) $\Delta ABC$ cân tại $A$ (giả thiết).

$\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (hai góc đáy bằng nhau).

$AB//MH$ mà $HE$ là tia đối của $MH$ nên $AB//HE$

$\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{EHC}$ (cặp góc đồng vị).

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACB}=\widehat{EHC}$

Ta có $E\in AC\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{BCE}$

Và $H\in BC\Rightarrow\widehat{HCE}=\widehat{BCE}$

$\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{HCE}$ mà $\widehat{ACB}=\widehat{EHC}$

$\Rightarrow\widehat{EHC}=\widehat{HCE}$ (là hai góc đáy của $\Delta EHC$).

$\Rightarrow\Delta EHC$ cân (hai góc đáy bằng nhau)*.

$\Rightarrow HE=CE$ (hai cạnh bên bằng nhau).

$\Delta ABC$ cân tại $A$ (giả thiết).

$\Rightarrow AB=AC$ (hai cạnh bên bằng nhau).

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$ có:

$AB=AC$ (chứng minh trên).

$AH$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông).

$\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{HAC}$ (hai góc tương ứng).

$AB//HE\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{AHE}$ (cặp góc so le trong).

$\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{AHE}$ mà $E\in AC$

$\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{HAE}\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{HAE}$

$\Rightarrow\Delta AHE$ cân (hai góc đáy bằng nhau).

$\Rightarrow AE=HE$ (hai cạnh bên bằng nhau).

Mà $HE=CE$ nên $AE=CE$ 

$\Rightarrow E$ là trung điểm của $AC$.

d) $\Delta ABH=\Delta ACH$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow BH=CH$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow H$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow BH=HC=\dfrac{BC}2=\dfrac{12}2=6(cm)$.
Áp dụng định lý Pythagoras cho $\Delta ABH$ có:

$AB^2=BH^2+AH^2$

$\Rightarrow AH^2=AB^2-BH^2$

$\Rightarrow AH=\sqrt{AB^2-BH^2}$

$\Rightarrow AH=\sqrt{10^2-6^2}$

$\Rightarrow AH=\sqrt{64}$

$\Rightarrow AH=8(cm)$.

$IA=IM\Rightarrow I$ là trung điểm của $AM$

$\Rightarrow IC$ là đường trung tuyến của $\Delta ACM$.
$I$ là trung điểm của $BH\Rightarrow HI=\dfrac{BH}2$
$\Rightarrow HI=\dfrac{CH}2\Rightarrow HC+HI=CH+\dfrac{CH}2$
$\Rightarrow IC=\dfrac32HC\Rightarrow HC=\dfrac23 IC$.
Mà $IC$ là đường trung tuyến của $\Delta ACM$

$\Rightarrow H$ là trọng tâm của $\Delta ACM$.

$N$ là trung điểm của $MC$

$\Rightarrow AN$ là đường trung tuyến của $\Delta ACM$

$\Rightarrow AN$ đi qua trọng tâm $H$
$\Rightarrow AH=\dfrac23 AN=8\Rightarrow AN=12(cm)$.