Đáp án + Giải thích các bước giải:

`a)` 

Ta có :

`hat{EHF}=hat{HFA}=hat{FAE}=hat{AEH}=90^o`

`=>` Tứ giác `EHFA` ( dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật )

`=>EF=AH` ( tính chất đường chéo trong hình chữ nhật )

`b)`

Gọi :

`+)O` là giao điểm của `EF` và `AH`

`+)K` là giao điểm của `EF` và `AI`

Ta có : Tứ giác `EHFA` là hình chữ nhật `(cmt)`

`=>OE=OA` ( tính chất hcn )

`=>ΔOEA` cân tại `O->hat{OEA}=hat{OAE}` ( t/c tam giác cân ) `(1)`

Lại có : `AI` là trung tuyến và `ΔABC` vuông tại `A`

`=>AI=BI=CI=1/2BC->AI=CI->ΔACI` cân tại `I` 

`=>hat{IAC}=hat{ICA}` ( t/c tam giác cân ) `(2)`

Từ `(1);(2)->hat{IAC}=hat{AEO}`

Lại có :

`hat{IAC}+hat{IAB}=90^o`

`=>hat{AEO}+hat{IAB}=90^o`

`=>hat{AEK}+hat{KAE}=90^o`

`=>hat{EKA}=90^o` ( tổng các góc trong 1 tam giác )

`=>AI⊥EF`

`c)`

Có :

`ΔBEH` vuông tại `E`

`MB=MH`

`=>ME` là trung tuyến

`=>ME=MB=MH` ( t/c trung tuyến trong tam giác vuông )

`->ME=MB->ΔMEB` cân tại `M`

`=>hat{MEB}=hat{MBE}` ( t/c tam giác cân )

Lại có :

`hat{MBE}+hat{ACB}=90^o` ( `ΔABC` vuông tại `A` và `E in AB;M in BC` )

`hat{ACB}=hat{AEO}` vì `(hat{IAC}=hat{AEO};I in BC)`

`=>hat{MEB}+hat{AEO}=90^o`

Lại có : `hat{MEB}+hat{AEO}+hat{MEF}=180^o` ( kề bù )

`=>hat{MEF}=180^o-(hat{MEB}+hat{AEO})`

`=>hat{MEF}=180^o-90^o`

`=>hat{MEF}=90^o->ME⊥EF` `(3)`

Xét `ΔOAF` có :

`OA=OF` ( tính chất hình chữ nhật )

`=>ΔOAF` cân tại `O->hat{OAF}=hat{OFA}`

Có :

`ΔHFC` vuông tại `F`

`HN=CN`

`=>FN` là trung tuyến

`=>FN=HN=CN` ( t/c trung tuyến trong tam giác vuông )

`->FN=CN->ΔFNC` cân tại `N`

`=>hat{NFC}=hat{NCF}` ( t/c tam giác cân )

Lại có :

`hat{NCF}+hat{CBA}=90^o` ( `ΔABC` vuông tại `A` và `F in AC;N in BC` )

`hat{ABC}=hat{OAF}` ( cùng phụ `hat{NCF}` )

`hat{OAF}=hat{OFA}(cmt)`

`=>hat{OFA}+hat{NFC}=90^o`

Lại có : `hat{OFA}+hat{NFC}+hat{EFN}=180^o` ( kề bù )

`=>hat{EFN}=180^o-(hat{OFA}+hat{NFC})`

`=>hat{EFN}=180^o-90^o`

`=>hat{EFN}=90^o->NF⊥EF` `(4)`

Từ `(3);(4)->` Tứ giác `EMNF` là hình thang vuông

`d)`

Tứ giác `EMNF` là hình thang vuông `(cmt)`

`D` là trung điểm `MN->MD=ND`

`=>ED=FD`

`=>ΔEDF` là tam giác cân

`e)`

Ta có :

`ΔABC` vuông tại `A`

`=>AB^2+AC^2=BC^2(py-ta-go)`

`=>BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10cm`

Ta có : `ΔBHA`$\backsim$`ΔBAC` ( tự chứng minh )

`=>BH.BC=AB^2`

`<=>BH.10=6^2`

`<=>BH.10=36`

`=>BH=(36)/(10)=3,6cm`

Ta có : `ΔAHC`$\backsim$`ΔBAC` ( tự chứng minh )

`=>CH.BC=AC^2`

`<=>CH.10=8^2`

`<=>CH.10=64`

`=>CH=(64)/(10)=6,4cm`

Có :

`M` là trung điểm `BH``->MB=MH=(BH)/(2)=(3,6)/(2)=1,8cm`

`N` là trung điểm `CH``->NC=NH=(CH)/(2)=(6,4)/(2)=3,2cm`

Lại có :

`EM` là trung tuyến `->EM=MB=MH=1,8cm`

`NF` là trung tuyến `->NF=NC=NH=3,2cm`

Ta có :

`O` là trung điểm `EF`

`D` là trung điểm `MN`

`=>OD` là đường trung bình

`=>OD=(EM+NF)/(2)=(1,8+3,2)/(2)=2,5cm`