Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) HC = 2HB$

$\Rightarrow HC>HB$

Mà $HC$ là hình chiếu của $AC$ trên $BC, HB$ là hình chiếu của $AB$ trên $BC$

$\Rightarrow AC>AB$

Trong $\Delta ABC, \widehat{ABC}$ đối diện với $AC, \widehat{ACB}$ đối diện với $AB$, mà $AC>AB$

$\Rightarrow \widehat{ABC}>\widehat{ACB} $

$b) AD = AH \Rightarrow A$ là trung điểm $DH$

$\Delta DHC$ có trung tuyến $CA$ và $DE$ cắt nhau tại $F$

$\Rightarrow F$ là trọng tâm $\Delta DHC$

$\Rightarrow HF$ là trung tuyến $DC$

$\Rightarrow HF$ đi qua trung điểm $M$ của $DC$

$\Rightarrow H,F,M$ thẳng hàng

$c) AK // AC$

Mà $AB \perp AC$

$\Rightarrow AK \perp AB$

$\Delta ABE$ có $P$ là giao hai đường cao $AH$ và $EK$

$\Rightarrow P$ là trực tâm $\Delta ABE$

$\Rightarrow BP \perp AE$

$d) \Delta DHC$ có trung tuyến có $HF$ là trung tuyến $DC$

$\Rightarrow HF=\dfrac{2}{3}HM$

$\Delta DHC$ vuông tại $H$, trung tuyến $HM$ ứng với cạnh huyền $DC$

$\Rightarrow HM=\dfrac{1}{2}DC\\ HF=\dfrac{2}{3}HM=HF=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}DC=\dfrac{1}{3}DC$

$e) E'$ là điểm đối xứng với $E$ qua $A$

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta ADE'$

$AH=AD\\ \widehat{A_1}=\widehat{A_2} (đ đ)\\ AE=AE'\\ \Rightarrow \Delta AHE = \Delta ADE' (c.g.c)\\ \Rightarrow \widehat{HEA}=\widehat{DE'A}$

$\Rightarrow DE'// DC$ (do hai góc so le trong bằng nhau)

$\Rightarrow \widehat{E'DE}=\widehat{CED}$ (so le trong)

$E'D=HE=CE$

Xét $\Delta E'DE$ và $\Delta CED$

$DE:$ chung

$\widehat{E'DE}=\widehat{CED}\\ E'D=CE\\ \Rightarrow \Delta E'DE = \Delta CED (c.g.c)\\ \Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{E_1}$

$\Rightarrow EE'//DC$ (do hai góc so le trong bằng nhau)

$\Rightarrow \widehat{A_3}=\widehat{C_1}=30^\circ$ (so le trong)

$\widehat{BAE}=\widehat{BAC}-\widehat{A_3}=60^\circ (1)$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHE$

$AH:$ chung

$\widehat{AHB}=\widehat{AHE}\\ BH=HE \left(=\dfrac{HC}{2} \right)\\ \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHE (c.g.c)\\ \Rightarrow AB=AE$

$\Rightarrow \Delta BAE$ cân tại $A (2)$

$(1)(2) \Rightarrow \Delta BAE$ đều

$\Rightarrow BE=AB=6(cm)\\ \Leftrightarrow BH+HE=6\\ \Leftrightarrow 2BH=6\\ \Leftrightarrow BH=3(cm)$

$\Delta AHB$ vuông tại $H$

$\Rightarrow AH^2+BH^2=AB^2$ (Pytago)

$\Rightarrow AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=3\sqrt{3} (cm)\\S_{BAE}=\dfrac{1}{2}AH.BE=9\sqrt{3} (cm^2)$

$f) \widehat{BPH}$ là góc ngoài đỉnh $P$ của $\Delta ABP$

$\Rightarrow \widehat{BPH} > \widehat{BAP}  (3)\\EK//AC$

$\Rightarrow  \widehat{HPE} = \widehat{HAC}$ (đồng vị) $(4)$

$(3)(4) \Rightarrow \widehat{BPH}+\widehat{HPE} > \widehat{BAP}+\widehat{HAC} \\ \Leftrightarrow \widehat{BPE} > \widehat{BAC} \\ \Leftrightarrow \widehat{BPE} > 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{BPE}$ là một góc tù.