Đáp án:

 `(n + 1)(n + 2)(n + 3)...(2n) \vdots 2^n`

Thương : `1 . 3 . 5 ..... (2n - 1) `

Giải thích các bước giải:

 Quy nạp :

Với ` n = 1 => 1 + 1 \vdots 2^1` (luôn đúng)

Giả sử giả thiết đúng:

`(n +1)(n + 2)(n + 3)....(2n) \vdots 2^n`

Xét `n + 1`

`=> (n + 1 + 1)(n + 2 + 1)....2(n + 1)`

`= (n + 2)(n + 3)....2n . 2`

` = 2(n + 1)(n + 2)....(2n)`

Theo giả sử giả thiết

`=> 2(n + 1)(n + 2)....(2n) \vdots 2 . 2^n = 2^(n + 1)`

`=>` Giả sử đúng

Phần tìm số dư:

Như giả thiết:

`=> (n + 1)(n + 2)(n + 3)...(2n) = ( (2n)!)/(n!)` (thay thử với mọi `n > 3` luôn đúng)

Mà `(2n)! = 1 . 2 . 3 ..... 2n`

              ` = (1 . 3 . 5 .... (2n - 1)) . (2 . 4 . 6 .... 2n)`

              ` = (1 . 3 . 5 ... (2n - 1)) . ( 2 . 1 . 2 . 2 . 2 . 3 .... 2 . n)`

              ` = 2^n . (1 . 2 . 3 ..... n) . (1 . 3 . 5 ... (2n - 1))`

              ` = 2^n . n! . (1 . 3 . 5 ... (2n - 1))`

`=> ( (2n!))/(n!) = 2^n . (1 . 3 . 5 .... (2n-1))`

`=> (n + 1)(n + 2)(n + 3)...(2n) : 2^n = 1 . 3 . 5 .... (2n - 1)`

Đặt `( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) .... ( 2n ) = S`

Với `n = 1 => ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) .... ( 2n ) = 2 vdots 2^1`

Giả sử mệnh đề này luôn đúng với mọi `n ∈ N`

Với `n = x => ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3) .... ( 2x ) vdots 2^x`

`=> S_x = ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) .... ( 2x ) vdots 2^x`

Khi này `,` ta cần chứng minh mệnh đề đúng với `n = x + 1`

`=> S_{ x + 1 } = ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) .... ( 2x ) [ 2 ( x + 1 ) ] vdots 2^( x + 1 )`

`=> 2 ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) .... ( 2x ) vdots 2^( x + 1 )`

`=> S_x .  2 vdots 2^( x + 1 )`

Ta có `: S_x vdots 2^x => S_x . 2 vdots 2^( x + 1 )`

`=>` Giả thiết là đúng

`=> ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) .... ( 2n ) vdots 2^n`

_______________________________________________________

`( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) .... ( 2n ) = [ ( 2n )! ]/( n! ) [` Do `2n! = 1 . 2 . 3 ..... 2n` và `( n + 1 ) ( n + 2 ) .... ( 2n )` thiếu `1 . 2 . 3 .... n = n! ]`

Ta có `: ( 2n )! = [ 1 . 3 . 5 .... ( 2n - 1 ) ] . [ 2 . 4 . 6 .... 2n ]`

                     `= [ 1 . 3 . 5 .... ( 2n - 1 ) ] . ( 1 . 2 . 3 .... n ) . 2^n`

                     `= [ 1 . 3 . 5 .... ( 2n - 1 ) ] . n! . 2^n`

`=> [ ( 2n )! ]/( n! ) = 1 . 3 . 5 .... ( 2n - 1 ) . 2^n`

`=> ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) .... ( 2n ) = 1 . 3 . 5 .... ( 2n - 1 )`