Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là trung trực $HD\to AD=AH$

        $AC$ là trung trực $HE\to AH=AE$

$\to AD=AE$

b.Ta có: $M\in AB$ là trung trực $DH\to MD=MH$

Xét $\Delta AMD,\Delta AMH$ có:

Chung $AM$
$AD=AH$

$MD=MH$

$\to\Delta AMD=\Delta AMH(c.c.c)$

$\to \widehat{AHM}=\widehat{ADM}=\widehat{ADE}$

Tương tự chứng minh được: $\widehat{AHN}=\widehat{AED}$

Vì $AD=AE\to \Delta ADE$ cân tại $A\to \widehat{ADE}=\widehat{AED}$

$\to \widehat{AHM}=\widehat{AHN}$

$\to HA$ là phân giác $\widehat{MHN}$

c.Ta có: $\Delta ADE$ cân tại $A$

$\to \widehat{DAE}=180^o-2\widehat{ADE}=180^o-2\widehat{ADM}=180^o-2\widehat{AHM}=2(90^o-\widehat{AHM})=2\widehat{MHB}$

d.Ta có: $N\in AC$ là trung trực $HE\to NH=NE, CH=CE$

Xét $\Delta NHC,\Delta NEC$ có:

Chung $NC$

$NH=NE$

$CH=CE$

$\to \Delta CNH=\Delta CNE(c.g.c)$

$\to \widehat{CNH}=\widehat{CNE}$

$\to NC$ là phân giác $\widehat{HNE}$

Kẻ $CI\perp NH, CG\perp NE\to CI=CG$

Kẻ $CF\perp MH$

$\to\widehat{CHF}=\widehat{MHB}=90^o-\widehat{AHM}=90^o-\widehat{AHN}=\widehat{CHN}$

$\to HC$ là phân giác $\widehat{NHF}$

Mà $CF\perp HF, CI\perp HN$

$\to CF=CI$

$\to CF=CG$

Kết hợp $CF\perp MH, CG\perp ME$

$\to MC$ là phân giác $\widehat{HME}$

Ta có: $\widehat{BMH}=180^o-\widehat{AMH}=180^o-\widehat{AMD}=\widehat{DMB}$

$\to MB$ là phân giác $\widehat{DMH}$

Lại có: $MC$ là phân giác $\widehat{HMN}$

             $\widehat{DMH}+\widehat{HMN}=180^o$

$\to MB\perp CM$

$\to CM\perp AB$

Tương tự chứng minh được $BN\perp AC$

Mà $AH\perp BC$

$\to AH, BN, CM$ đồng quy