a)

Vì $MNPQ$ là hình thang

Nên đáy bé sẽ chứa 2 đỉnh của góc tù và đáy lớn chứa 2 đỉnh của góc nhọn

Với dữ kiện $\widehat{P}>90{}^\circ >\widehat{Q}$ và $\widehat{N}=2\widehat{M}$

Thì $\widehat{P},\widehat{N}$ là góc tù và $\widehat{Q},\widehat{M}$ là góc nhọn

$\to MQ$ là đáy lớn và $NQ$ là đáy bé

b)

Ta có $\widehat{M}+\widehat{N}=180{}^\circ $

$\to \widehat{M}+2\widehat{M}+2\widehat{M}=180{}^\circ $

$\to 3\widehat{M}=180{}^\circ $

$\to \widehat{M}=60{}^\circ $

$\to \widehat{N}=120{}^\circ $

Kẻ $PA//MQ$

$\to \Delta PAN=\Delta MNA\left( g.c.g \right)$

$\to PA=MN=NP=MA$

$\to MA=\dfrac{MQ}{2}$

$\to A$ là trung điểm $MQ$

$\to AQ=AP$

$\to \Delta APQ$ cân tại $A$

Lại có $\widehat{PAQ}=\widehat{M}=60{}^\circ $ (hai góc đồng vị)

$\to \Delta APQ$ là tam giác đều

$\to \widehat{Q}=60{}^\circ $

$\to \widehat{M}=\widehat{Q}=60{}^\circ $

$\to MNPQ$ là hình thang cân

c)

Ta có $\Delta NMP=\Delta AMP\left( c.c.c \right)$

$\to \widehat{NMP}=\widehat{AMP}$

$\to MP$ là tia phân giác $\widehat{AMN}$

$\to \widehat{OMQ}=\dfrac{1}{2}\widehat{M}=30{}^\circ $

Tương tự: $\widehat{OQM}=30{}^\circ $

Vậy $\widehat{MOQ}=180{}^\circ -\widehat{OMQ}-\widehat{OQM}=120{}^\circ $