a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABD$ vuông tại $A$

Ta có $B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}$

$\to B{{D}^{2}}={{20}^{2}}+{{20}^{2}}$

$\to B{{D}^{2}}=800$

$\to BD=20\sqrt{2}cm$

b)

Xét $\Delta ABC$ có $AB=AC$ và $\widehat{ABC}=60{}^\circ $

$\to \Delta ABC$ là tam giác đều

$\to \widehat{HAB}=60{}^\circ $

$\to \widehat{KAD}=30{}^\circ $

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$

Ta có $\sin \widehat{HAB}=\dfrac{BH}{AB}$

$\to \sin 60{}^\circ =\dfrac{BH}{20}$

$\to BH=20.\sin 60{}^\circ =20\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}cm$

Xét $\Delta ADK$ vuông tại $K$

Ta có $\sin \widehat{KAD}=\dfrac{DK}{AD}$

$\to \sin 30{}^\circ =\dfrac{DK}{20}$

$\to DK=20.\sin 30{}^\circ =20\cdot \dfrac{1}{2}=10cm$

c)

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$

Ta có $\cos \widehat{HAB}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to \cos 60{}^\circ =\dfrac{AH}{20}$

$\to AH=20.\cos 60{}^\circ =20\cdot \dfrac{1}{2}=10cm$

Xét $\Delta ADK$ vuông tại $K$

Ta có $\cos \widehat{KAD}=\dfrac{AK}{AD}$

$\to \cos 30{}^\circ =\dfrac{AK}{20}$

$\to AK=20.\cos 30{}^\circ =20\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}cm$

Vậy $HK=AK-AH=10\sqrt{3}-10\,\left( cm \right)$