a/ Xét ΔABC có góc A=90°
mà AM là trung tuyến của ΔABC
$=> AM=BC/2=13/2=6,5(cm)$
Xét ΔABC có góc A = 90°
Áp dụng đ/lí Py-ta-go có:
$BC^2=AE^2+AC^2$
$=> AC^2=BC^2-AE^2$
$AC^2=13^2-5^2=144

$=> AC=√144=12(cm)$
Xét ΔABN có góc A=90°
Có  $BN$ là trung tuyến của $ΔABC$
$=> BN=AC/2=12/2=6(cm)$
$BN^2=AB^2+AN^2$
$BN^2=5^2+6^2$
$BN^2=61 => BN= √61(cm)$
Xét $ΔACE$ có góc $A=90 °$
$AC=12cm, AE=AB/2=2,5(cm)$ 
Áp dụng đ/lí Py-ta-go có:
$CE^2=AC^2+AE^2$
$CE^2=12^2+2,5^2$
$CE^2= 144 + 6,25$
$=> CE^2=150,25$

$=> CE=√ 150,25 (cm)$

b) Ta có: Sabc là

$( AB*AC ) / 2$

mà AB = 5cm ( GT ) , AC = 12 cm ( câu a)suy ra $( 5*12 ) / 2 = 30 ( cm² )$

Tương tự ta có Seac là 15 cm²

$Sbeo = Sabc - Seac =30 - 15 = 15 cm^2$

Lại có $Sboc = 2/3 Sbec$

Suy ra $Sboc = 2/3 * 15 = 10 (cm² )$

Vậy diện tích tam giác BOC là 10 cm²