$a.$ 

+ Vì $AD = AB ⇒ ∆ADB$ cân tại $A$. 

+ Xét $∆ABD$ cân tại $A$ có $AE$ là đường cao $⇒ AE$ cũng là đường phân giác của $∆ABD$.

+ Và: $\widehat{ADB} = \widehat{ABD}$.

+ Xét $∆AED$ và $∆AEB$, ta có: 

$\left\{ \begin{array}x \widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}} \ (vì \ AE \ là \ phân \ giác \\ AE: \ chung \\ AD = AB \ (gt) \\ \end{array}  \right.$ 

+ Do đó: $∆AED = ∆AEB$ (đpcm). 

$b.$ 

+ $∆ABD$ cân, ta có: $AE$ là đường cao $⇒AE$ cũng là đường trung trực của đoạn $BD$. 

+ $F ∈ BD ⇒ FB = FD$. 

+ Xét $∆ADF$ và $∆ABF$, ta có: 

$\left\{ \begin{array}x AF: \ cạnh \ chung \\ \widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}} \ (cmt)\\ AB = AD \ (gt) \\ \end{array}  \right.$.

+ Do đó: $∆ADF =  ∆ABF$ (c.g.c).

$⇒ \widehat{ADF} = \widehat{ABF}$ (góc tương ứng) (đpcm).

$c.$

+ Kẽ $FI, FK$ lần lượt vuông góc với $AB$ và $AC$, vì $F$ thuộc phân giác của góc $BAC$ $(F ∈ AE)$ nên $FI = FK$. 

+ Ta có: $HF ⊥ BC$ tại $F \ (gt)⇒ \widehat{BFI} + \widehat{IFM} = 90°$ và $\widehat{HFK} + \widehat{H} = 90°$.            $(1)$

+ Lại có: $IF // HD$ và $IF ⊥ AB ⇒ \widehat{IFM} = \widehat{H}$.                 $(2)$

+ Từ $(1)$ và $(2) ⇒ \widehat{BFI} = \widehat{HFK}$.

+ Xét $∆BIF$ và $∆HFK$, ta có: 

$\left\{ \begin{array}x \widehat{BIF} = \widehat{HFK} = 90° \ (gt) \\ FI = FK \ (cmt) \\  \widehat{BFI} = \widehat{HFK} \ (cmt) \\ \end{array}  \right. ⇒ ∆BIF = HFK$ (g.c.g).

$⇒ FB = FH$ (góc tương ứng) (đpcm).