`a)` $\text{Vì các phân giác của}$ `hat{A}` $\text{và}$ `hat{C}` $\text{cắt nhau ở O}$

`->` $\text{O là giao điểm ba đường phân giác của}$ $\Delta{ABC}$

`->` $\text{BO là tia phân giác của}$ `hat{B}`    `(1)`

$\text{Theo bài ra ta có: BF là tia phân giác của góc ngoài đỉnh B    (2)}$    

$\text{Từ (1) và (2) suy ra BO ⊥ BF}$

`b)` $\text{Vẽ AH là tia đối của tia AD, AI là tia đối của tia AB}$

$\text{Theo bài ra ta có: AD là tia phân giác của}$ `hat{A}` 

$\text{Mà}$ `hat{A} = 120^o`

`->` `hat{CAD} = hat{BAD} = 120^o/2 = 60^o`

$\text{Có:}$ `hat{CAD} + hat{BAD} + hat{BAF} = 180^o`

$\text{Hay:}$ `60^o + 60^o + hat{BAF} = 180^o`

`-> hat{BAF} = 180^o - 60^o - 60^o = 60^o`

`->` `hat{CAD} = hat{BAD} = hat{BAF} = 60^o`

$\text{Lại có:}$ `hat{CAD} = hat{HAF}`

$\text{Mà}$ `hat{CAD} = hat{BAF}` $\text{(đcmt)}$

`->` `hat{HAF} = hat{BAF}`

`->` $\text{AF là tia phân giác của}$ `hat{HAB}`

`->` $\text{AF là tia phân giác của của góc ngoài tại đỉnh A}$

$\text{Vì AF ∩ BF = $\left\{F \right\}$}$

`->` $\text{F ∈ tia phân giác của}$ `hat{ADB}` 

`->` $\text{DF là tia phân giác của}$ `hat{ADB}`    `(3)`

`->`  `hat{BDF} = hat{ADF}`

$\text{c) Theo bài ra ta có: CE là tia phân giác của}$ `hat{C}` 

$\text{Có:}$ `hat{IAH} = hat{BAD}` $\text{( 2 góc đối đỉnh)}$  

                    `hat{CAI} = hat{BAF}` $\text{( 2 góc đối đỉnh)}$  

$\text{Mà}$ `hat{BAD} = hat{BAF}`

`->`  `hat{CAI} = hat{IAH}`

`->` $\text{AI là tia phân giác của}$ `hat{CAH}`

`->` $\text{AI là tia phân giác của của góc ngoài tại đỉnh A}$

$\text{Mà AI ∩ DE =  $\left\{E \right\}$}$

`->` $\text{E ∈ tia phân giác của}$ `hat{ADB}`    `(4)`

$\text{Từ (3) và (4) suy ra ba điểm D, E, F thẳng hàng}$

$a.$ 

+ $OB$ là phân giác $\widehat{ABC} ⇒\widehat{ABO} = \widehat{OBC}$.

+ $BF$ là phân giác góc $\widehat{xBA} ⇒ \widehat{xBF} = \widehat{ABF}$.

$⇒ \widehat{FBO} = \widehat{FBA} + \widehat{AO}$.

$= \dfrac {1}{2}\widehat{ABx} + \dfrac {1}{2}\widehat{ABC}$.

$= \dfrac {1}{2}(\widehat{ABx} + \widehat{ABC}) = \dfrac {1}{2}.180° = 90°$.

$⇒ BO ⊥ BF$ (đpcm).

$b.$ 

+ Kẻ $FH ⊥ Bx; FK ⊥ AD; FG ⊥ AB$.

+ Vì $FB$ là phân giác $xAB ⇒ FH = FG$.        $(1)$

+ Ta có: $\widehat{DAC} = \dfrac {1}{2}\widehat{BAC} = 60° ⇒ \widehat{FAK} = 60° = \widehat{FAB}$.

$⇒ FA$ là phân giác $\widehat{BAK}$.

$⇒ FG = FK$.         $(2)$

+ Từ $(1)$ và $(2) ⇒ FH = FK$.

$⇒ ∆FHD = ∆FDK$ (cạnh huyền - góc vuông).

$⇒ \widehat{FDH} = \widehat{FDK}$.

$⇒ \widehat{BDF} = \widehat{ADF}$ (đpcm).

$c.$ 

+ Kẻ $EM ⊥ AC; EN ⊥ AD; EI ⊥ BC$.

+ Vì $AE$ là phân giác $\widehat{MAN}$.

$⇒ EM = EN$.               $(3)$

+ Tương tự: $EC$ là phân giác $\widehat{ICA}$.

$⇒ EN = EI$.                  $(4)$

+ Từ $(3) và $(4) ⇒  EN = EI$.

$⇒ ∆END = ∆EID$ (cạnh huyền - góc vuông).

$⇒ \widehat{BDE} = \widehat{ADE}$.

$⇒ DE$ là phân giác $\widehat{ADB}$.

+ Từ câu $a ⇒ DF$ là phân giác $\widehat{ADB}$.

$⇒ D, E, F$ thẳng hàng (đpcm).