Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` cân tại `A => AB=AC; \hat{ABC}=\hat{ACB}`

lại có `AH` là đường cao

`=> AH` là đường trung tuyến

`=> H` là trung điểm của `BC => HB=HC`

`E, F` lần lượt là hình chiếu của `H` trên `AB` và `AC`

`=> HE⊥AB; HF⊥AC`

Xét `ΔBEH` và `ΔCFH` có: 

`\hat{BEH}=\hat{BFH}=90^0 (HE⊥AB; HF⊥AC)`

`HB=HC` (cmt)

`\hat{EBH}=\hat{FCH} (ΔABC` cân tại `A)`

`=> ΔBEH=ΔCFH` (cạnh huyền-góc nhọn)

b) `ΔBEH=ΔCFH` (cmt) `=> BE=FC `

mà `AB=AC =>  AB-BE=AC-FC =>AE=AF`

`=> ΔAEF` cân tại `A => \hat{AEF}=\hat{AFE}=\frac{180^0-\hat{EAF}}{2}`

`ΔABC` cân tại `A => \hat{ABC}=\hat{ACB}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}`

mà `\hat{EAF}=\hat{BAC} => \hat{AEF}=\hat{ABC}`

mà 2 góc ở vị trí đồng vị của `EF` và `BC =>` $EF//BC$

c) `HE⊥AB => HM⊥AB; HF⊥AC => HN⊥AC`

Xét `ΔBME` và `ΔBHE` có:

`ME=HE` (gt)

`\hat{BEM}=\hat{BEH}=90^0 (HM⊥AB)`

`BE`: cạnh chung

`=> ΔBME=ΔBHE` (c.g.c) `=> BM=BH; \hat{MBE}=\hat{EBH}`

Xét `ΔCNF` và `ΔCHF` có:

`FN=FH` (gt)

`\hat{CFN}=\hat{CFH}=90^0 (HN⊥AC)`

`CF`: cạnh chung

`=> ΔCNF=ΔCHF` (c.g.c) `=> CN=CH; \hat{NCF}=\hat{FCH}`

Ta có: `BM=BH;CN=CH; BH=CH`

`=> BM=CN`

`\hat{MBE}=\hat{EBH}; \hat{NCF}=\hat{FCH}; \hat{EBH}=\hat{FCH}`

`=> \hat{MBE}=\hat{NCF}`

`=> \hat{MBE}+\hat{EBH}=\hat{NCF}+\hat{FCH}`

`=> \hat{CBM}=\hat{BCN}`

Xét `ΔMBC` và `ΔNCB` có:

`MB=NC` (cmt)

`\hat{CBM}=\hat{BCN}` (cmt)

`BC`: cạnh chung

`=> ΔMBC=ΔNCB` (c.g.c) `=> CM=BN`

d) `\hat{MBE}=\hat{NCF} => \hat{MBA}=\hat{NCA}`

Xét `ΔABM` và `ΔACN` có:

`AB=AC` (cmt)

`\hat{MBA}=\hat{NCA}` (cmt)

`BM=NC` (cmt)

`=> ΔABM=ΔACN` (c.g.c) `=> AM=AN`

`=> ΔAMN` cân tại `A`