`a)` $AD;AE$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$

`=>AD=AE`

Vì `OD=OE=R`

`=>AO` là trung trực của $DE$

Mà $AO$ cắt $DE$ tại $H$

`=>AO`$\perp DE$ tại $H$

$\\$

$\quad AD$ là tiếp tuyến tại $D$ của $(O)$

`=>AD`$\perp OD$

`=>∆ADO` vuông tại $D$

`=>AD^2=AH.AO` (hệ thức lượng) $(1)$

$\\$

Xét $∆ADM$ và $∆AND$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{ADM}=\hat{AND}` (cùng chắn cung $MD$)

`=>∆ADM∽∆AND` (g-g)

`=>{AD}/{AN}={AM}/{AD}`

`=>AD^2=AM.AN` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>AD^2=AM.AN=AH.AO`

$\\$

`b)` Vì $AO$ là trung trực của $DE$ (câu a) và $K\in AO$

`=>KD=KE`

`=>\stackrel\frown{KD}=\stackrel\frown{KE}` (liên hệ dây và cung)

Ta có:

`\qquad \hat{DNK}=1/ 2 sđstackrel\frown{KD}` (góc nội tiếp chắn cung $KD$)

`\qquad \hat{ENK}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{KE}` (góc nội tiếp chắn cung $KE$)

`=>\hat{DNK}=\hat{ENK}`

Mà `NK` nằm giữa hai tia $ND$ và $NE$

`=>NK` là phân giác `\hat{DNE}`

$\\$

Vì `AM.AN=AH.AO` (câu a)

`=>{AM}/{AO}={AH}/{AN}`

Xét $∆AHM$ và $∆ANO$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad {AM}/{AO}={AH}/{AN}` (c/m trên)

`=>∆AHM∽∆ANO` (c-g-c)

`=>\hat{AHM}=\hat{ANO}` 

`=>MHON` nội tiếp (vì có góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

$\\$

`c)` `∆ADM∽∆AND` (câu a)

`=>{AM}/{AD}={DM}/{ND}`

`=>{AM}/{AE}={DM}/{ND}` (vì $AD=AE$) $(3)$

$\\$

Xét $∆AEM$ và $∆ANE$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{AEM}=\hat{ANE}` (cùng chắn cung $ME$)

`=>∆AEM∽∆ANE` (g-g)

`=>{AM}/{AE}={ME}/{EN}` $(4)$

Từ `(3);(4)=>{DM}/{ND}={ME}/{EN}`

`=>{ND}/{NE}={MD}/{ME}` $(5)$

$\\$

Ta có: `\hat{KNQ}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>NK`$\perp CQ$ tại $N$

`=>NK`$\perp NC$

Vì $NK$ là phân giác trong của `\hat{DNE}` 

(câu b)

`=>NC` là phân giác ngoài của `\hat{DNE}`

`=>{CD}/{CE}={ND}/{NE}` $(6)$

$\\$

Từ `(5);(6)=>{CD}/{CE}={MD}/{ME}`

 `=> MD.CE = ME.CD`