`a)` $BE;CF$ là đường cao của $∆ABC$

`=>BE`$\perp AC$ tại $E$

`=>\hat{BEC}=90°`

`\qquad CF`$\perp AB$ tại $F$

`=>\hat{BFC}=90°`

`=>\hat{BEC}=\hat{BFC}=90°`

`=>BCEF` nội tiếp (có $2$ đỉnh $E;F$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông)

$\\$

Xét tứ giác $BDHF$ có:

`\qquad \hat{BDH}+\hat{BFH}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{BDH};\hat{BFH}` ở vị trí đối nhau

`=>BDHF` nội tiếp 

$\\$

`b)` $BDHF$ nội tiếp (c/m trên)

`=>\hat{DFH}=\hat{DBH}` (cùng chắn cung $DH$) $(1)$

Tứ giác $AEHF$ có:

`\qquad \hat{AFH}+\hat{AEH}=90°+90°=180°`

`=>AEHF` nội tiếp 

`=>\hat{EFH}=\hat{EAH}` (cùng chắn cung $EH$) $(2)$

Mà `\hat{DBH}=\hat{EAH}` (cùng phụ `\hat{ACD}`) $(3)$

Từ `(1);(2);(3)=>\hat{DFH}=\hat{EFH}`

`=>\hat{DFC}=\hat{EFC}`

Vì tia $FC$ nằm giữa hai tia $FD$ và $FE$

`=>FC` là phân giác của `\hat{DFE}`

$\\$

Vẽ tiếp tiếp tuyến `xy` tại $A$ của $(O)$

`=>xy`$\perp OA$ $(4)$

`\qquad \hat{xAB}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)

Vì `BCEF` nội tiếp 

`=>\hat{AFE}=\hat{ACB}` (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)

`=>\hat{xAB}=\hat{AFE}`

Mà `\hat{xAB};\hat{AFE}` ở vị trí so le trong 

`=>xy`//$EF$ $(5)$

Từ `(4);(5)=>OA`$\perp EF$

$\\$

`c)` Ta có: `\hat{ADB}=\hat{AEB}=90°`

`=>ABDE` nội tiếp (có $2$ đỉnh $D;E$ cùng nhìn cạnh $AB$ dưới góc vuông)

`=>\hat{BAD}=\hat{BED}` (cùng chắn cung $BD$)

$\\$

Ta lại có $ABMN$ nội tiếp $(O)$

`=>\hat{BAM}=\hat{BNM}` (cùng chắn cung $BM$)

`=>\hat{BAD}=\hat{BNM}`

`=>\hat{BED}=\hat{BNM}`

Mà `\hat{BED};\hat{BNM}` ở vị trí đồng vị  

`=>DE`//$MN$

`=>\hat{CIK}=\hat{CED}` (hai góc đồng vị)

$\\$

Ta có `\hat{CED}=\hat{ABD}` (do $ABDE$ nội tiếp)

`=>\hat{CIK}=\hat{ABD}`

`=>\hat{CIK}=\hat{ABK}`

`=>ABKI` nội tiếp (vì có góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$a$)

Theo đề: 

$Đường$ $cao$ $CF$ vuông góc với $AB$ tại $F$ $\Rightarrow$ $\widehat{BFC}$  = 90 độ

$Đường$ $cao$ $BE$ vuông góc với $AC$ tại $BEC$ $\Rightarrow$ $\widehat{BEC}$  = 90 độ

$\Rightarrow$ $\widehat{BFC}$ = $\widehat{BEC}$ 

Xét Tứ giác $BCEF$ có : $\widehat{BFC}$ = $\widehat{BEC}$ ( Chứng minh trên)

Mà $\widehat{BFC}$ và $\widehat{BEC}$ là 2 góc kề cạnh $FE$ cùng chắn $\overparen{BC}$ 

$\Rightarrow$ Tứ giác $BCEF$ nội tiếp

Theo đề :

$Đường$ $cao$ $AD$ vuông góc với $BC$ tại $D$ $\Rightarrow$ $\widehat{BDA}$  = 90 độ 

Ta có : $\widehat{BFC}$  = 90 độ ( Câu a)

$\Rightarrow$ $\widehat{BDA}$ = $\widehat{BFC}$   = 90 độ

Xét Tứ giác $BDHF$ có : $\widehat{BDA}$ = $\widehat{BFC}$   = 90 độ ( Chứng minh trên)

Mà $\widehat{BDA}$ và $\widehat{BFC}$  là 2 góc đối nhau 

$\Rightarrow$ Tứ giác $BDHF$ nội tiếp 

$b$) 

Ta có : Tứ giác $BCEF$ nội tiếp ( cm câu a)

$\Rightarrow$ $\widehat{EFC}$ = $\widehat{EBC}$ ( Tính chất góc trong tứ giác nội tiếp) (1)

Mà  Tứ giác $BDHF$ nội tiếp ( cm câu a)

$\Rightarrow$  $\widehat{HFD}$ = $\widehat{HBD}$ hay $\widehat{HFD}$ = $\widehat{EBC}$ (2)

Từ (1) (2) $\Rightarrow$ $\widehat{EFC}$ = $\widehat{HFD}$

$\Rightarrow$ $FC$ là tia phân giác của $\widehat{DFE}$