Gợi ý: 

a) +) CM: E là trung điểm của NP
+) Áp dụng t/c' đường trung tuyến trong tam giác vuông

=> $ME=$ $\frac{1}{2}NP$ 

hay: $ME=NE=PE$

+) CM: ΔEIM = ΔEIP

Cách 1: CM Δ EIM và Δ EIP vuông tại I rồi CM 2 Δ bằng nhau

Cách 2: CM 2 Δ bằng nhau mà không cần CM Δ EIM và Δ EIP vuông tại I

+) CM: ΔMEP cân:

Xét ΔMEP, ta có:  $ME=NE=PE$ (CMT)

=> ΔMEP là Δ cân (DHNB)

b) +) CM: HEIM là hình chữ nhật.

- CM: EI //MN, HE//MP (Từ ⊥ đến //) => HEIM là hình bình hành (DHNB)

Mà: EHN = 90 ° (EH ⊥ MN tại H)

       EIM = 90 ° (EI ⊥ MP tại I)

=> HEIM là HCN (DHNB)

=> EH = MI (cặp cạnh t/ứ)

+) CM: ΔNHE = ΔEIP

(Có nhiều cách để chứng minh, nhưng đây là một số cách đơn giản nhất)

Cách 1:

+CM Δ NEM cân tại E => NE = EM (cặp cạnh t/ứ)

+ CM Δ NHE = Δ EIM (phải CM hai tam giác vuông)

- EH = MI (CMT)

- NE = EM (CMT) 

=> Δ NHE = Δ EIM (ch-cgv)

mà: ΔEIM = ΔEIP (CMA)

=>Δ NHE = Δ EIP (ĐPCM)

Cách 2: CM HE = IP, rồi CM Δ NHE = Δ EIP (phải CM hai tam giác vuông)

- EH = IP (CMT)

- NE = EP (E là trung điểm của NP) 

=> Δ NHE = Δ EIP (ch-cgv)

Cách 3:

Gọi F là giao của HI và ME, rồi CM FE = FI (áp dụng t/c' HCN: Hai đường chéo trong hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm của mỗi nó)

=> ΔFEI cân tại F (DHNB)

=> FEI = FIE (hai góc t/ứ)

hay MEI = HIE

+ CM Δ IEH = Δ EIM (phải CM hai tam giác vuông)

- HE = MI

- MEI = HIE

- IE chung 

=> Δ IEH = Δ EIM

Lại có: ΔEIM = ΔEIP (CMA)

=> ΔIHE = ΔEIP

+ CM HEPI là hình bình hành =>HE = IP (t/c' HBH)

+ CM Δ NHE = Δ EIP (phải CM hai tam giác vuông)

- EH = IP (CMT)

- NE = EP (E là trung điểm của NP) 

=> Δ NHE = Δ EIP (ch-cgv)