`*` Xét `ΔABC` ta có:

`+,``AD = DB` (gt)

`+,` `AE = EC` (gt)

⇒ `DE` là đường trung bình `ΔABC`

⇒ `DE` `/``/` `BC` (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Mặt khác: Xét `ΔABM` ta có: 

`+,` `DI` `/``/` `BC` (Do `I ∈ DE`)

`+,` `AD = DB`

⇒ `AI = IM` (Định lí 1 của tính chất đường trung bình)

`*` Xét `ΔABM` ta có:

`+,` `AD = DB`

`+,` `AI = IM`

⇒ `DI` là đường trung bình của `ΔABM`

⇒ `DI = 1/2 .BM` [1] (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Xét `ΔAMC` ta có:

`+,` `AI = IM`

`+,` `AE = EC`

⇒ `IE` là đường trung bình `ΔAMC`

⇒ `IE = 1/2 MC` [2]

Mặt khác: `MC = BM` [3] do `AM` là trung tuyến

Từ [1] ; [2] và [3] ⇒ `ID = IE`

`@`Xét $\triangle$ $ABC$ ta có $:$

$D$ là trung điểm $AB ( gt )$

$E$ là trung điểm $AC ( gt )$

`=> DE` là đường trung bình của $\triangle$ $ABC ( dhnb )$

`=>` $DE // BC ($ Tính chất đường trung bình $)$

`=>` $DI // BM$

Mà `D` là trung điểm $AB ( gt )$

`=>` $I$ là trung điểm của $AM  ($ tính chất đường trung bình $)$

`=> IA = IM`

`@` Xét $\triangle$ $AMC$ ta có $:$

$I$ là trung điểm $AM ( cmt )$

$E$ là trung điểm $AC ( gt )$

`=> IE` là đường trung bình của $\triangle$ $AMC ( dhnb )$

`=> IE = 1/2MC (` tính chất đường trung bình $)$

Xét $\triangle$ $AMB$ ta có $:$

$I$ là trung điểm $AM ( cmt )$

$D$ là trung điểm $AB ( gt )$

`=> DI` là đường trung bình của $\triangle$ $AMB ( dhnb )$

`=> DI = 1/2BM (` tính chất đường trung bình $)$

Mà `BM = MC (` vì $AM$ là trung tuyến của $\triangle$ $ABC )$

`=> DI = 1/2MC (` tính chất đường trung bình $)$

Mà `IE = 1/2MC ( cmt )` 

`=> DI = IE ( = 1/2MC )`