Đáp án:

a) Ta có: ACD nội tiếp đường tròn đường kính AC nên Tam giác ACD vuông tại D

$\begin{array}{l}
 + \sin B = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = \sin B.BC = \sin {30^0}.a = \frac{a}{2}\\
 + \cos B = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow AB = cos{30^0}.a = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\
 + c{\rm{osACD = }}\frac{{CD}}{{AC}} \Rightarrow CD = \frac{a}{2}.cos{30^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\
 \Rightarrow AD = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}}  = \frac{a}{4}
\end{array}$

b) Xét ΔABC và ΔDAC vuông tại A và D có góc B = góc ACD = 30 độ

=> ΔABC ~ ΔDAC (g-g)

$ \Rightarrow k = \frac{{DA}}{{AB}} = \frac{{\frac{a}{4}}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{1}{2}$

c) 

$\begin{array}{l}
{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\\
 \Rightarrow {S_{ACD}} = {k^2}.{S_{ABC}} = \frac{1}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}\\
d){S_{OAD}} = {R^2}.\frac{{2\pi {{.180}^0}}}{{\widehat {AOD}}} = O{A^2}.\frac{{\pi {{.360}^0}}}{{{{60}^0}}}\\
 = {\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)^2}.\frac{\pi }{6}\\
 = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)^2}.\frac{\pi }{6}\\
 = \frac{{\pi {a^2}}}{{32}}
\end{array}$