Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$

$\to AH^2=HB\cdot HC=144$

$\to AH=12$

$\to AB=\sqrt{AH^2+HB^2}=6\sqrt{13}, AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=4\sqrt{13}, BC=BH+HC=26$

$\to \sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$

$\to \hat C=\arcsin  \dfrac{2}{\sqrt{13}}\to \hat B=90^o-\hat C=90^o-\arcsin\dfrac{2}{\sqrt{13}}$

b.Vì $AD$ là phân giác $\widehat{BAH}$

$\to \widehat{BAD}=\widehat{HAD}$

Mà $\widehat{HAC}=90^o-\widehat{HAB}=\widehat{ABH}=\widehat{ABD}$

$\to\widehat{DAC}=\widehat{DAH}+\widehat{HAC}=\widehat{DAB}+\widehat{DBA}=\widehat{ADC}$

$\to \Delta CAD$ cân tại $C$

Ta có: $AD$ là phân giác $\widehat{BAH}$

$\to\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{AH}{AB}=\sin\widehat{ABH}=\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}$

c.Ta có: $\Delta AHB$ vuông tại $H, EH\perp AB\to AE\cdot AB=AH^2$

  Tương tự $AH^2=AF\cdot AC$

$\to AE\cdot AB=AF\cdot AC$

$\to \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}$

Mà $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$

$\to \Delta AFE\sim\Delta ABC(c.g.c)$

$\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(\dfrac{EF}{BC})^2$

Vì $HE\perp AB, HF\perp AC, AB\perp AC\to AEHF$ là hình chữ nhật

$\to AH=EF$

$\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AH}{BC})^2$

Ta có:

$1-\cos^2B=\sin^2B$

$\to (1-\cos^2B)\sin^2C=\sin^2B\sin^2C=(\sin B\sin C)^2=(\dfrac{AC}{BC}\cdot \dfrac{AB}{BC})^2=(\dfrac{AB\cdot AC}{BC^2})^2=(\dfrac{AH\cdot BC}{BC^2})^2=(\dfrac{AH}{BC})^2$

$\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(1-\cos^2B)\sin^2C$

$\to S_{AEF}=S_{ABC}(1-\cos^2B)\sin^2C$

Nhớ đánh giá 5 sao cho mình nhaaa!!!

a) Xét ΔABC vuông tại A, đường cao AH:

AC² = BC.HC = 8(18+8) = 208 

AC = $4\sqrt[]{13}$(cm)

Tương tự: AB²=HB.BC=18.(18+8) = 468

                 AB = $6\sqrt[]{13}$ (cm)

BC = HB + BC = 18+8 = 26(cm)

Có: $\frac{AC}{BC}$ =$\frac{4\sqrt[]{13}}{26}$ = sinACB

⇒∠ACB ≈ 34 độ

⇒∠ABC = 180 độ - 90 độ - 34 độ = 56 độ

b)Do AD là phân giác ∠HAB (gt)

⇒∠DAH = ∠DAB

Có:∠DAH + ∠HAD = 90 độ

mà ∠HAD = ∠HAB

⇒ ∠DAH + ∠DAB = 90 độ

mà ∠DAB + ∠CAD = 90 độ

⇒ ∠CAD = ∠CDA

⇒ΔADC cân tại C

Xét ΔHAC và ΔABC có: ∠HAC = ∠ABC (cùng phụ ∠HAB) ; ∠AHC = ∠BAC = 90 độ

⇒ ΔHAC ᔕ Δ ABC (g-g)

⇒ $\frac{AH}{AB}$= $\frac{AC}{BC}$ (tỉ số đồng dạng)

Xét ΔAHB có AD là phân giác ∠HAB (gt), áp dụng tính chất phân giác của tam giác:

⇒$\frac{AH}{AB}$= $\frac{HD}{BD}$ 

Vậy: $\frac{AH}{AB}$= $\frac{HD}{BD}$ = $\frac{AC}{BC}$

c) Có cos²B + sin²B = 1

⇒ sin²B = 1 - cos²B

Xét S ΔABC (1-cos²B) sin²C

= $\frac{1}{2}$ AB.BC . sin²B . sin²C

= $\frac{1}{2}$ AB.BC .$\frac{AC²}{BC²}$ .$\frac{AB²}{BC²}$ 

=  $\frac{1}{2}$ $\frac{AB^{3}.AC^{3}}{BC^{4}}$ 

=  $\frac{1}{2}$ $\frac{6√13^{3}.4√13^{3}}{26^{4}}$

=$\frac{432}{13}$ 

Xét tam giác ABE vuông tại A, đường cao AH:

AE.AB=AH² ⇒AE = $\frac{12^{2}}{6√13}$ 

AF.AC=AH²⇒AF = $\frac{12^{2}}{4√13}$

S ΔAEF = $\frac{1}{2}$ AE.AF = $\frac{432}{13}$ 

⇒ S ΔAEF=S ΔABC (1-cos²B) sin²C(đpcm)