Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) \[A{H^2} = HB.HC\] (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông)

\[ \Rightarrow A{H^2} = 4.9 = 36 \Rightarrow AH = 6\]

Mà \(ADHE\) là hình chữ nhật nene \(AH = DE = 6\).

Có \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) nên \(\tan B = \frac{{AH}}{{HB}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow B \approx {56^0} \Rightarrow C \approx {34^0}\)

b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) có \(AD.AB = A{H^2}\left( {he\,thuc} \right)\)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) có \(AE.AC = A{H^2}\left( {he\,thuc} \right)\)

Suy ra \(AD.AB = AE.AC\left( {dpcm} \right)\)

c) Ta có: \(DM = MB = MH\) (trung tuyến trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \Delta DMH\) cân và \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\)

Mà \(\widehat {EDH} = \widehat {AHD}\) (\(ADHE\) là hình chữ nhật)

\( \Rightarrow \widehat {MDH} + \widehat {EDH} = \widehat {MHD} + \widehat {AHD} = {90^0}\) \[ \Rightarrow \widehat {MDE} = {90^0}\]

Tương tự \(\widehat {DHN} = {90^0}\).

Vậy tứ giác \(MDEN\) là hình thang vuông.

d) \(DM = \frac{1}{2}BH = 2,EN = \frac{1}{2}CH = \frac{9}{2},DE = 6\)

\( \Rightarrow {S_{DENM}} = \frac{{\left( {DM + EN} \right).DE}}{2} = \frac{{\left( {2 + \frac{9}{2}} \right).6}}{2} = \frac{{39}}{2}\)

https://img.hoidap247.com/picture/answer/201991/tini_1567307917296.jpg