Đáp án:

`pt <=> x^2 + (-4)x + 1 = 0`

 Áp dụng hệ thức ` vi-et` ta có : 

`{x_1 + x_2 = -b/a = -( -4)/1 = 4`

`{x_1x_2 = c/a = 1/1 = 1`

Ta có : 

`x_1^5 + x_2^5`

`= (x_1 + x_2)^5 - 5x_1x_2(x_1 + x_2)^3 + 5(x_1x_2)^2(x_1 + x_2)`

Do `x_1 + x_2 , x_1x_2 in Z` mà các hạng tử trên chỉ chứa các nhân tử `x_1 + x_2 , x_1x_2`

nên dễ thấy `x_1^5 + x_2^5 in Z`

Giải thích các bước giải:

Xét phương trình cho có dạng $ax^2+bx+c=0$ với $\begin{cases}a=1\\b=-4⇒b'=-2\\c=1\end{cases}$

nên phương trình cho là phương trình bậc hai một ẩn $x$

có $Δ'=b'^2-ac=4-1=3>0$ nên phương trình cho có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-et có:

$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=4\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=1\end{cases}$

Có $x_1^5+x_2^5=(x_1^2+x_2^2).(x_1^3+x_2^3)-(x_1.x_2)^2.(x_1+x_2)$

$=[(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2].[(x_1+x_2)^3-3x_1.x_2.(x_1+x_2)]-(x_1.x_2)^2.(x_1+x_2)$

$=(4^2-2.1).(4^3-3.1.4)-1^2.4=724$ nguyên