Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABH,\Delta MBH$ có:

$\widehat{ABH}=\widehat{MBH}$

Chung $BH$

$\widehat{HAB}=\widehat{HMB}(=90^o)$ 

$\to \Delta ABH=\Delta MBH$(cạnh huyền-góc nhọn)

b.Từ câu a $\to BA=BM, HA=HM$

$\to B, H\in$ trung trực của $AM$

$\to BH$ là trung trực $AM$

c.Ta có $HM\perp BC\to HM<HC$

Mà $HA=HM\to HA<HC$

d.Xét $\Delta AHN, \Delta MHC$ có:

$\widehat{NAH}=\widehat{HMC}(=90^o)$

$HA=HM$

$\widehat{AHN}=\widehat{MHC}$

$\to\Delta HAN=\Delta HMC(g.c.g)$

$\to HN=HC, HA=HM$

$\to \Delta HAM, \Delta HNC$ cân tại $H$

$\to \widehat{HAM}=90^o-\dfrac12\widehat{HAM}=90^o-\dfrac12\widehat{NHC}=\widehat{HCN}$

$\to AM//CN$

Mà $BH$ là trung trực của $AM\to BH\perp AM\to BH\perp NC$

d.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A,\hat C=30^o$

$\to \Delta ABC$ là nửa tam giác đều cạnh $BC=12$

$\to AB=\dfrac12BC=6$

$\to CM=BC-BM=6$

Lại có $HM\perp BC, \hat C=30^o\to \Delta HMC$ là nửa tam giác đều cạnh $HC$

$\to MC=\dfrac{HC\sqrt{3}}{2}$

$\to HC=\dfrac{2MC}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$