Giải thích các bước giải:

a.Ta có $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to \widehat{MAO}=\widehat{MBO}(=90^o)$

$\to OAMB$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$

b.Ta có $AE$ là phân giác $\widehat{CAD}$

$\to \widehat{MAE}=\widehat{MAC}+\widehat{CAE}=\widehat{CDA}+\widehat{EAD} =\widehat{AEM}$

$\to \Delta AME$ cân tại $M$

c.Xét $\Delta AMC, \Delta MAD$ có:

Chung $\hat M$

$\widehat{MAC}=\widehat{MDA}$ vì $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta MAC\sim\Delta MDA(g.g)$

$\to\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}$

$\to MA^2=MC.MD$

Ta có $AM\perp AO\to AM=\sqrt{MO^2-OA^2}=R\sqrt{3}$

$\to MC.MD=3R^2$

d.Gọi $MO\cap AB=H\to H$ là trung điểm $AB, AH\perp MO$

$\to \dfrac1{AH^2}=\dfrac1{MA^2}+\dfrac1{AO^2}$

$\to AH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

$\to MH=\sqrt{AM^2-AH^2}=\dfrac32R$

Ta có khi quay $\Delta OAM$ quanh cạnh cố định $AB$ ta được hình chóp có đường sinh $MA=R\sqrt{3},$ đường cao $AH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}, $ và bán kính đường tròn đáy là $HM=\dfrac32R$

$\to S_{xq}=\pi \cdot \dfrac32R\cdot R\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}\pi}{2}R^2$

      $S_{tp}=S_{xq}+\pi MH^2=\dfrac{3\sqrt{3}\pi}{2}R^2+\dfrac94\pi R^2$