a,Xét (O) có: 

AM là tiếp tuyến, A là tiếp điểm ⇒ OA ⊥ AM ⇒ $\widehat{OAM}=90°$

Hay $\widehat{OAE}=90°$

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAOE là O'

Xét (O') có: A, O, E, H ∈ (O') 

⇒ Tứ giác AOHE nội tiếp đường tròn (O')

⇒ $\widehat{OHE}+\widehat{OAE}=180°$ (hai góc đối nhau trong tứ giác nội tiếp)

Hay $\widehat{OHE}+90°=180°$

⇒$\widehat{OHE}=180°-90°=90°$

b, $\widehat{OHE}=90°$ (cmt)⇒ OH ⊥ EF ⇒ $\widehat{OHF}=90°$

Xét (O) có: BM là tiếp tuyến, B là tiếp điểm ⇒ OB ⊥ MF tại B ⇒ $\widehat{OBF}=90°$ 

Xét tứ giác OHBF có: $\widehat{OHF}=\widehat{OBF}=90°$

Hai đỉnh H và B cùng nhìn OF dưới một góc vuông

⇒ Tứ giác OHBF nội tiếp đường tròn đường kính OF

c, Xét (O') có:

$\widehat{OEH}=\widehat{OAH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{OH}$)

Hay $\widehat{OEF}=\widehat{OAB}$

Xét đường tròn đường kính OF có: 

$\widehat{OFH}=\widehat{OBH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{OH}$)

Hay $\widehat{OFE}=\widehat{OBA}$

Xét ΔOAB có: OA = OB = R

⇒ ΔOAB cân tại O

⇒ $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$

Mà $\widehat{OEF}=\widehat{OAB}$ (cmt), $\widehat{OFE}=\widehat{OBA}$ (cmt)

⇒ $\widehat{OEF}=\widehat{OFE}$

Xét ΔEOF có: $\widehat{OEF}=\widehat{OFE}$ (cmt)

⇒ ΔOEF cân tại O

d, Có $\widehat{OFH}=\widehat{OBH}$ (cmt)

Hay $\widehat{OFH}=\widehat{OBI}$ 

Xét (O) có: AB là dây không đi qua tâm, I là trung điểm của AB (gt)

⇒ OI ⊥ AB ⇒ $\widehat{OIB}=90°$

Xét ΔOIB và ΔOHF có: 

$\widehat{OIB}=\widehat{OHF}=90°$

$\widehat{OFH}=\widehat{OBI}$ (cmt)

⇒ ΔOIB ~ ΔOHF (g.g)

⇒ $\frac{OI}{OH}=\frac{OB}{OF}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ OI . OF = OB . OH