Giải thích các bước giải:

Bài 17:

a.Ta có $D, E$ nằm chính giữa cung $AB, AC$

$\to DA=DB, EA=EC$

$\to \widehat{AHK}=\widehat{DAH}+\widehat{HDA}=\widehat{DAB}+\widehat{EDA}=\widehat{AED}+\widehat{CAE}=\widehat{AEK}+\widehat{KAE}=\widehat{AKH}$

$\to \Delta AKH$ cân tại $A$

b.Ta có $D, E$ nằm chính giữa cung $AB, AC$

$\to BE, CD$ là phân giác $\Delta ABC$

Mà $BE\cap CD=I\to AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\t oAI$ là phân giác $\widehat{HAK}$

Mà $\Delta AHK$ cân tại $A\to AI\perp HK$

c.Ta có $DA=DB\to \widehat{ACD}=\widehat{DEB}\to \widehat{KEI}=\widehat{KCI}$

$\to ECIK$ nội tiếp

d.Ta có $ECIK$ nội tiếp

$\to\widehat{IKC}=\widehat{IEC}=\widehat{BEC}=\widehat{BAC}$

$\to IK//AB$

Bài 18:

a.Ta có $E, F\in$ đường tròn đường kính $BC\to BE\perp CE, BF\perp CF$

Xét $\Delta ABF, \Delta ACE$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{AFB}=\widehat{AEC}(=90^o)$

$\to \Delta ABF\sim\Delta ACE(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AF}{AE}$

$\to AE.AB=AF.AC$

b.Ta có $CE\perp AB,  BF\perp AC,  BF\cap CE=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to AH\perp BC$

c.Ta có $AM, AN$ là tiếp tuyến của $(O)\to AM\perp OM, AN\perp ON$

Mà $AK\perp OK$

$\to\widehat{AMO}=\widehat{AKO}=\widehat{ANO}=90^o$

$\to A, M, K, O, N\in$ đường tròn đường kính $AO$

$\to \widehat{AMN}=\widehat{AKN}$

d.Ta có $AM, AN$ là tiếp tuyến của $(O)\to AM=AN$

$\to \widehat{AMN}=\widehat{AKN}=\widehat{AKM}$

Xét $\Delta AEH,\Delta AKB$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{AEH}=\widehat{AKB}(=90^o)$

$\to\Delta AEH\sim\Delta AKB(g.g)$

$\to\dfrac{AE}{AK}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AE.AB=AH.AK$

Mà $AM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A\to AM^2=AE.AB$
$\to AM^2=AH.AK$

$\to\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AK}{AM}$

Lại có $\widehat{MAH}=\widehat{MAK}$

$\to \Delta AMH\sim\Delta AKM(c.g.c)$

$\to \widehat{AMH}=\widehat{AKM}$

$\to\widehat{AMH}=\widehat{AMN}$

$\to M, H, N$ thẳng hàng