Thực chất bài toán này là một bài quen thuộc, kể cả cho $n$ bằng bao nhiêu thì $S_n\not\vdots 5$.

Ta sẽ chứng minh $S_n\in Z$ và $S_n\not\vdots 5$

Với $n=0\to S_0=2\in Z$ và hiển nhiên $S_0\not\vdots 5$

Với $n=1\to S_1=x_1+x_2=6\in Z$ và $S_1\not\vdots 5$

Với $n=2\to S_2=x_1^2 +x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=6^2-2.1=34\in Z$ và $S_2\not\vdots 5$

Với $n>2$

Ta có: $S_n=x_1^n +x_2^n$

$=x_1^n +x_2^n +x_1x_2^{n-1}+x_2x_1^{n-1}-x_1x_2(x_1^{n-2}+x_2^{n-2})\\=(x_1+x_2)(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})-x_1x_2(x_1^{n-2}+x_2^{n-2})\\= 6(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}) -(x_1^{n-2}+x_2^{n-2})\\=6S_{n-1}-S_{n-2}$

Ta giả sử với $n=k(k>2)$ thì $S_k\in Z,S_k\vdots 5$

Ta chứng minh với $n=k+1$ thì $S_{k+1}\in Z,S_{k+1}\vdots 5$

Thật vậy ta có:

$S_{k+1}=6S_{k+1-1}-S_{k+1-2}=6S_k - S_{k-1}\in Z\to S_{k+1}\in Z(1)\\S_{k+1}=6S_k - S_{k-1}=5S_k + S_k-S_{k-1}\\=5S_k + 6S_{k-1} - S_{k-2} - S_{k-1}\\=5S_k + 5S_{k-1}-S_{k-2}\not\vdots 5\to S_{k+1}\not\vdots 5(2)$

Từ $(1),(2)$ ta có đpcm theo giả thiết quy nạp.

Tóm lại thì $S_n\in Z,S_n\vdots 5$ với mọi $n\in N$

$\to S_{50}\not\vdots 5\to (S_{50}; 5)=1$

Áp dụng định lí Fermat nhỏ ta được:

$S_{50}^{5-1}\equiv 1\pmod{5}\to S_{50}^4\equiv 1\pmod{5}$

Bổ đề quen thuộc với số nguyên $a$ thì $a^4\equiv a\pmod{5}$

$\to S_{50}^4\equiv S_{50}\pmod{5}\to S_{50}\equiv 1\pmod{5}$