Giải thích các bước giải:

a.Ta có $EC$ là đường kính của $(O)\to BE\perp BC$

Mà $BE//AO\to AO\perp BC$

$\to AO$ là trung trực của $BC$

$\to \widehat{ACO}=\widehat{ABO}=90^o$

$\to AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

b.Xét $\Delta IMC, \Delta IBC$ có:

Chung $\hat I$

$\widehat{ICM}=\widehat{IBC}$ vì $IC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta IMC\sim\Delta ICB(g.g)$

$\to \dfrac{IM}{IC}=\dfrac{IC}{IB}$

$\to IC^2=IB.IM$

Mặt khác $\widehat{ICM}=\widehat{IBC}=\widehat{MBC}=\widehat{MCB}$ do $AO$ là trung trực của $BC$

$\to CM$ là phân giác $\widehat{ACB}$

Ta có $AO$ là trung trực của $BC\to AO$ là phân giác $\widehat{BAC}$

Lại có $M\in AO\to M$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

Ta có $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB=AC$

Ta có $AO=2R, \widehat{ABO}=90^o\to \Delta ABC$ là nửa tam giác đều $\to \widehat{AOB}=60^o$

$\to \widehat{ACB}=\dfrac12\widehat{BOC}=\widehat{AOB}=60^o$

$\to \Delta ABC$ đều

$\to M$ đồng thời là giao $3$ đường trung tuyến

Vì $BM\cap AC=I\to I$ là trung điểm $AC$