Giải thích các bước giải:

1.Ta có $AD$ là đường kính của $(O)\to AC\perp CD$

Mà $CH\perp AD$

$\to HC^2=HA.HD$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có $OC=OD=CD(=R)$

$\to \Delta OCD$ đều

$\to \widehat{ODC}=60^o$

$\to \widehat{ADC}=60^o$

2. Ta có $AD$ là đường kính của $(O)\to \widehat{ABD}=90^o$

Vì $AD\perp CB\to OD\perp BC\to DC=DB$

Xét $\Delta DCN, \Delta DBM$ có:

$CN=BM$

$\widehat{NCD}=\widehat{DBM}$

$DC=DB$

$\to \Delta DCN=\Delta DBM(c.g.c)$

$\to \widehat{BMD}=\widehat{CND}=\widehat{AND}$

$\to AMDN$ nội tiếp

3.Ta có $AMDN$ nội tiếp

Vì $OD\perp BC\to DO$ là trung trực của $BD\to AD$ là trung trực của $BC$

$\to AD$ là phân giác $\widehat{CAB}$

$\to AD$ là phân giác $\widehat{MAN}$

$\to DM=DN$

Ta có $\widehat{IND}=\widehat{MND}=\widehat{MAD}=\widehat{CAD}=90^o-\widehat{ACH}=\widehat{HCD}=\widehat{ICD}$

$\to CIDN$ nội tiếp

$\to \widehat{NID}=\widehat{NCD}=90^o$

$\to DI\perp MN$

Vì $DM=DN\to \Delta DMN$ cân tại $D$

$\to I$ là trung điểm $MN$

4.Kẻ $OG\perp FE$

Ta có $\widehat{FDE}=\widehat{IDM}=90^o-\widehat{IMD}=90^o-\widehat{NMD}=90^o-\widehat{NAD}=90^o-\widehat{CAD}=\widehat{ADC}=60^o$

$\to \widehat{FOG}=\widehat{GOE}=\dfrac12\widehat{FOE}=\widehat{FDE}=60^o$

$\to OG=\dfrac12OF$

$\to OG=\dfrac12R$ không đổi

$\to EF$ tiếp xúc $(O,\dfrac12R)$ cố định