Lời giải

a) Xét $\triangle ABC$ và $\triangle HBA$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}=\widehat{H}=90^\circ\\\widehat{B}:\ \text{góc chung}\end{cases}$

Do đó $\triangle ABC\backsim \triangle HBA\ (g.g)$

b) Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CAH$ có:

$\begin{cases}\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^\circ\\\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\quad\text{(cùng phụ $\widehat{HAC}$)}\end{cases}$

Do đó $\triangle ABH\backsim \triangle CAH\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{HC}=\dfrac{BH}{AH}$

$\Rightarrow AH^2 = BH.HC$

c) Xét $\triangle ABC$ có:

$\begin{cases}AD = DB =\dfrac12AB\quad (gt)\\BE = EC =\dfrac12BC\quad (gt)\end{cases}$

$\Rightarrow DE =\dfrac12AC$

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle HAC$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}=\widehat{H}=90^\circ\\\widehat{C}:\ \text{góc chung}\end{cases}$

Do đó $\triangle ABC\backsim \triangle HAC\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AH}=\dfrac{AC}{HC}$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AH}{HC}$

$\Rightarrow \dfrac{2BD}{2DE}=\dfrac{AH}{HC}$

$\Rightarrow \dfrac{BD^2}{DE^2}=\dfrac{AH^2}{HC^2} =\dfrac{BH.HC}{HC}=\dfrac{BH}{HC}\quad (*)$

Mặt khác $\triangle MDB$ và $\triangle BDE$ có:

$\begin{cases}\widehat{MDB}=\widehat{BDE}=90^\circ\\\widehat{DMB}=\widehat{MBE}\quad\text{(cùng phụ $\widehat{DBM}$)}\end{cases}$

Do đó $\triangle MDB\backsim \triangle BDE\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{MD}{BD}=\dfrac{BD}{DE}$

$\Rightarrow BD^2 = MD.DE$

Khi đó:

$(*)\Leftrightarrow \dfrac{MD.DE}{DE^2}=\dfrac{BH}{HC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{MD}{DE}=\dfrac{BH}{HC}$

Ta lại có: $NH//MB\quad (\perp BC)$

Theo định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{BH}{HC}=\dfrac{MN}{NC}$

Do đó:

$\dfrac{MD}{DE}=\dfrac{MN}{NC}$

$\Rightarrow DE//EC$ (định lý $Thales$ đảo)

$\Rightarrow DE//BH$

Xét $\triangle ABH$ có:

$AD = DB=\dfrac12AB\quad (gt)$

$DE//BH\quad (cmt)$

$\Rightarrow AN = NH =\dfrac12AH$

Hay $N$ là trung điểm $AH$