Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AHB,\Delta ACI$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AIC}(=90^o)$

$AB=AC$

$\widehat{BAH}=\widehat{BAC}-\widehat{IAC}=90^o-\widehat{IAC}=\widehat{ACI}$

$\to \Delta AHB=\Delta CIA$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to BH=AI$

b.Từ câu a

$\to BH^2+CI^2=AI^2+IC^2=AC^2$ không đổi khi $E$ thay đổi trên đoạn $BM$

c.Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A, M$ là trung điểm $BC\to AM\perp BC$

$\to AM\perp CE$

Mà $CI\perp AE, CI\cap AM=N$

$\to N$ là trực tâm $\Delta ACE$

$\to EN\perp AC$

d.Ta có: $AB\perp AC, NE\perp AC\to NE//AB$

$\to \widehat{MEN}=\widehat{ABC}=45^o$

Mà $\widehat{EMN}=90^o$

$\to \Delta MNE$ vuông cân tại $M$

Ta có: $AM\perp BC\to \Delta AMB$ vuông tại $M$

            $\hat B=45^o$

$\to\Delta AMB$ vuông cân tại $M\to MA=MB$

Xét $\Delta MAI,\Delta MBH$ có:

$AI=BH$

$\widehat{IAM}=\widehat{MAB}-\widehat{BAH}=45^o-\widehat{BAH}=90^o-(45^o+\widehat{BAH})=90^o-(\widehat{ABE}+\widehat{EAB})=90^o-\widehat{BEH}=\widehat{HBE}$

$AM=BM$

$\to \Delta AIM=\Delta BHM(c.g.c)$

$\to MI=MH,\widehat{AMI}=\widehat{BMH}$

$\to \widehat{IMH}=\widehat{IMB}+\widehat{BMH}=\widehat{IMB}+\widehat{AMI}=\widehat{AMB}=90^o$

$\to \Delta MIH$ vuông cân tại $M$

$\to \widehat{MHI}=45^o$

$\to \widehat{BHM}=\widehat{BHE}+\widehat{IHM}=135^o$

$\to\widehat{AIM}=\widehat{BHM}=135^o$ vì $\Delta AIM=\Delta BHM$

$\to \widehat{EIM}=180^o-\widehat{AIM}=45^o=\dfrac12\widehat{EIC}$

$\to IM$ là phân giác $\widehat{EIH}$