a)

$M\in $ đường trung trực của $AC$

$\to MA=MC$

$\to \Delta MAC$ cân tại $M$

$\to \widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

Mà: $\widehat{ABC}=\widehat{MCA}$ ( vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

$\to \widehat{ABC}=\widehat{MAC}$

Mà: $\begin{cases}\widehat{ABC}=\widehat{MAB}+\widehat{AMC}\,\,\,\left(\text{ góc ngoài của }\Delta{ AMB}\right)\\\widehat{MAC}=\widehat{MAB}+\widehat{BAC}\,\,\,\left(\text{ hiển nhiên }\right)\end{cases}$

$\to \widehat{AMC}=\widehat{BAC}$

b)

$\widehat{ABC}=\widehat{MAC}\,\,\,\left( cmt \right)$

Mà: $\begin{cases}\widehat{ABC}\text{ và }\widehat{ABM}\text{ là hai góc kề bù }\\\widehat{MAC}\text{ và }\widehat{CAN}\text{ là hai góc kề bù }\end{cases}$

Nên: $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta CAN$, ta có:

$AB=AC$ ( vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

$\widehat{ABM}=\widehat{CAN}\,\,\,\left( cmt \right)$

$BM=AN\,\,\,\left( gt \right)$

$\to \Delta ABM=\Delta CAN\,\,\,\left( c.g.c \right)$

$\to AM=CN$ ( hai cạnh tương ứng )

Mà $AM=CM$ ( vì $M\in $ đường trung trực của $AC$ )

Vậy $CM=CN$

c)

Vì $CM=CN\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \Delta CMN$ cân tại $C$

Nếu $CM\bot CN$

Thì $\Delta CMN$ vuông cân tại $C$

Khi đó $\widehat{CMN}=\widehat{CNM}=45{}^\circ $

Mà $\widehat{CMN}=\widehat{BAC}\,\,\,\left( cmt \right)$

Nên $\widehat{BAC}=45{}^\circ $

Vậy $\Delta ABC$ cần có thêm điều kiện là $\widehat{BAC}=45{}^\circ $ thì khi đó $CM\bot CN$

Đáp án:

 c)để CM vuông góc vs CN=> tam giác MCN là tam giác vuông=>góc AMC =góc ANC=90 độ

mà góc BMC =BAC (cma)

góc AMC=ANC(tam giác ANB=ANC)=> góc BAC=AMC=ANC

góc AMC+BNC=góc BAC+AMC=2.BAC=90 độ=> góc BAC=45 độ

để CM vuông góc vs CN thì góc BAC của tg cân ABC phải bằng 45độ

                 _Chúc bạn học thật tốt_

Giải thích các bước giải: