Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to \hat B+\hat C=90^o$

Mà $\hat B=2\hat C$

$\to 2\hat C+\hat C=90^o$

$\to 3\hat C=90^o$

$\to \hat C=30^o$

$\to \hat B=60^o$

Xét $\Delta AHB,\Delta AHD$ có:
Chung $AH$

$\widehat{AHB}=\widehat{AHD}(=90^o)$

$HB=HD$

$\to \Delta AHB=\Delta AHD(c.g.c)$

$\to AB=AD$

$\to \Delta ABD$ cân tại $A$

Mà $\hat B=60^o$

$\to \Delta ABD$ đều

b.Ta có: $\Delta ABD$ đều

$\to \widehat{DAB}=60^o\to \widehat{DAC}=\widehat{BAC}-\widehat{BAD}=30^o=\widehat{ACB}=\widehat{ACD}$

$\to \Delta ACD$ cân tại $D$

$\to DA=DC$

Xét $\Delta AHD,\Delta CDE$ có:

$\widehat{AHD}=\widehat{CED}(=90^o)$

$DA=DC$

$\widehat{ADH}=\widehat{CDE}$

$\to \Delta ADH=\Delta CDE$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to DH=DE$

$\to \Delta DHE$ cân tại $D$

$\to \widehat{DHE}=90^o-\dfrac12\widehat{HDE}=90^o-\dfrac12\widehat{ADC}=\widehat{DCA}$

$\to HE//AC$

c.Ta có: $\Delta ABD$ đều, $AH\perp BD\to AH$ là phân giác $\widehat{BAD}$

               $HE//AC$

$\to \widehat{AEH}=\widehat{EAC}=30^o=\dfrac12\widehat{BAD}=\widehat{HAE}$

$\to \Delta AHE$ cân tại $H$

$\to HA=HE$

Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, \hat B=60^o\to \Delta ABD$ là nửa tam giác đều

$\to BC=2AB$

$\to \dfrac{BC^2-AD^2}{4}=\dfrac{(2AB)^2-AB^2}{4}=\dfrac{4AB^2-AB^2}4=\dfrac34AB^2$

Ta có: $AH^2=AB^2-BH^2=AB^2-(\dfrac12BD)^2=AB^2-(\dfrac12AB)^2=AB^2-\dfrac14AB^2=\dfrac34AB^2$

$\to \dfrac{BC^2-AD^2}{4}=AH^2=HE^2$

d.Từ câu b $\to \widehat{DCE}=\widehat{HAD}=30^o$

$\to \widehat{KCA}=\widehat{ECD}+\widehat{DCA}=60^o, \widehat{KAC}=\widehat{HAD}+\widehat{DAC}=60^o$

$\to \Delta ACK$ đều

$\to AC=AK=KC$

Ta có:

$IA+IK>AK$

$IK+IC>CK$

$IA+IC>AC$

Cộng vế với vế

$\to 2(IA+IB+IC)>(AK+CK+AC)=3AC$

$\to IA+IB+IC>\dfrac32AC$