a)

$M$ là trung điểm $BC$

$N$ là trung điểm $AC$

$\to MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\to MN\,//\,AB$ và $AB=2MN$

$\to \widehat{CMN}=\widehat{CBA}$  ( hai góc đồng vị )

Mà: $\begin{cases}\widehat{CMN}+\widehat{OMN}=90{}^\circ\\\widehat{CBA}+\widehat{HAB}=90{}^\circ\end{cases}$

Nên: $\widehat{OMN}=\widehat{HAB}$

Tương tự: $\widehat{CNM}=\widehat{CAB}$ ( hai góc đồng vị )

Mà: $\begin{cases}\widehat{CNM}+\widehat{ONM}=90{}^\circ\\\widehat{CAB}+\widehat{HBA}=90{}^\circ\end{cases}$

Nên: $\widehat{ONM}=\widehat{HBA}$

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta MNO$, ta có:

$\begin{cases}\widehat{HAB}=\widehat{OMN}\,\,\,\left( cmt \right)\\\widehat{HBA}=\widehat{ONM}\,\,\,\left( cmt \right)\end{cases}$

$\to \Delta ABH\backsim\Delta MNO\,\,\,\left( g.g \right)$

b)

Vì $\Delta ABH\backsim\Delta MNO\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \dfrac{AH}{MO}=\dfrac{AB}{MN}=2$

$G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to \dfrac{AG}{MG}=2$

$\to \dfrac{AH}{MO}=\dfrac{AG}{MG}=2$

Ta có: $\begin{cases}AH\bot BC\\OM\bot BC\end{cases}$

$\to AH\,//\,OM$

$\to \widehat{HAG}=\widehat{OMG}$ ( hai góc so le trong )

Xét $\Delta HAG$ và $\Delta OMG$, ta có:

$\dfrac{AH}{MO}=\dfrac{AG}{MG}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{HAG}=\widehat{OMG}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \Delta HAG\backsim\Delta OMG\,\,\,\left( c.g.c \right)$

c)

Vì $\Delta HAG\backsim\Delta OMG\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \widehat{AGH}=\widehat{MGO}$ ( hai góc tương ứng )

Mà: $\widehat{AGH}+\widehat{MGH}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )

Nên: $\widehat{MGO}+\widehat{MGH}=180{}^\circ $

$\to \widehat{HGO}=180{}^\circ $

$\to H,G,O$ thẳng hàng

Vì $\Delta HAG\backsim\Delta OMG\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \dfrac{GH}{GO}=\dfrac{AG}{MG}=2$

$\to GH=2GO$