Đáp án:

a) $AE\,\bot\,BD\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{BEK}=90^\circ$

$BD$ là đường phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{DBC}$ mà $K\in BC$

$\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{KBD}\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{KBD}$.

Và $E\in BD\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{EBK}$.

Xét hai tam giác $\Delta ABE$ và $\Delta BKE$ có:

$\widehat{AEB}=\widehat{BEK}=90^\circ$ (cmt)

$BE$ là cạnh chung

$\widehat{ABE}=\widehat{EBK}$ (cmt)

$\Rightarrow\Delta ABE=\Delta BKE$ (góc-cạnh-góc).

$\Rightarrow AB=BK$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta ABK$ cân tại $B$.

b) Xét hai tam giác $\Delta ABD$ và $\Delta BDK$ có:

$AB=BK$ (cmt)

$\widehat{ABD}=\widehat{KBD}$ (cmt)

$BD$ là cạnh chung

$\Rightarrow\Delta ABD=\Delta BDK$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BKD}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BAD}=90^\circ$ ($\Delta ABC$ vuông tại $A$).

$\Rightarrow\widehat{BKD}=90^\circ\Rightarrow DK\,\bot\,BC$.

c) $\Delta ABD=\Delta BDK$ (cmt)

$\Rightarrow AD=DK$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow\Delta AKD$ cân tại $D$

$\Rightarrow\widehat{DAK}=\widehat{AKD}$ (hai góc đáy bằng nhau).

$AH\,\bot\,BC$ mà $I\in AH\Rightarrow AI\,\bot\,BC$.

Mặt khác, $AI\,\bot\,BC,DK\,\bot\,BC\Rightarrow AI//DK$

$\Rightarrow\widehat{IAK}=\widehat{DAK}$ (cặp góc so le trong)

Mà $\widehat{DAK}=\widehat{AKD}$ nên $\widehat{IAK}=\widehat{AKD}$

$\Rightarrow AK$ là tia phân giác của $\widehat{IAD}$ ($I\in AH,D\in AC$)

$\Rightarrow AK$ là tia phân giác của $\widehat{HAC}$.

d) $AH\,\bot\, BC\Rightarrow AH\,\bot\,BK$

$\Rightarrow AH$ là đường cao của $\Delta ABK$

$AE\,\bot\,BD\Rightarrow BD\,\bot\,AK$

$\Rightarrow BD$ là đường cao của $\Delta ABK$

Mà $AH\cap BD=I\Rightarrow I$ là trực tâm của $\Delta ABK$

$\Rightarrow IK$ đi qua trực tâm $I$

$\Rightarrow IK$ là đường cao của $\Delta ABK$

$\Rightarrow IK\,\bot\,AB$ mà $AC\,\bot\,AB$

$\Rightarrow IK//AC$.