Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AHB, \Delta ABC$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{AHB}=\widehat{BAC}(=90^o)$

$\to \Delta HBA\sim \Delta ABC(g.g)$

$\to \dfrac{HB}{AB}=\dfrac{HA}{AC}$ 

$\to HB.AC=AB.HA$

b.Ta có $AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=4$

Mà $BI$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{IA}{IH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac43$

$\to \dfrac{AI}{AI+IH}=\dfrac4{4+3}$

$\to \dfrac{AI}{AH}=\dfrac47$

$\to AI=\dfrac47AH=\dfrac{16}{7}\to HB=AH-AI=\dfrac{12}{7}$

c.Ta có $AK$ là phân giác $\widehat{HAC}$

$\to \widehat{HAK}=\widehat{KAC}$

Mà $\widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}=\widehat{ACK}$

$\to \widehat{BAK}=\widehat{BAH}+\widehat{HAK}=\widehat{KCA}+\widehat{KAC}=\widehat{AKB}$

$\to \Delta ABK$ cân tại $B$

Mà $BI$ là phân giác $\hat B$

$\to BI\perp AK$

Lại có $AH\perp BC, I\in AH$

$\to I$ là trực tâm $\Delta ABK\to KI\perp AB$

d.Gọi $IK\cap HN=D$

$\to \dfrac{DI}{AN}=\dfrac{HD}{HN}=\dfrac{DK}{CN}$

$\to DI=DK$ vì $N$ là trung điểm $AC$

$\to D$ là trung điểm $KI$

Mặt khác:

$\dfrac{DI}{CN}=\dfrac{2DI}{2CN}=\dfrac{IK}{AC}=\dfrac{MI}{MC}$

$\widehat{MID}=\widehat{MCN}$

$\to \Delta MDI\sim\Delta MNC(c.g.c)$

$\to \widehat{IMD}=\widehat{NMC}$

$\to D, M, N$ thẳng hàng

Mà $H, D, N$ thẳng hàng

$\to H, M, N$ thẳng hàng