Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $Ay\perp AB\to \Delta ABM$ vuông tại $A$ 

$\to \widehat{AMC}=90^o-\widehat{ABM}=90^o-\widehat{ABC}=90^o-\widehat{BAC}=\widehat{CAM}$

$\to \Delta ACM$ cân tại $C$

b.Ta có: $AH\perp BC, AB<AM$

$\to HB<HM$ (Quan hệ đường xiên, hình chiếu)

Mà $IH\perp BM\to IB<IM$ (Quan hệ đường xiên, hình chiếu)

c.Ta có: $\Delta ABC$ đều, $AH\perp BC\to AH$ đồng thời là phân giác $\widehat{BAC}$

$\to\widehat{BAH}=\widehat{HAC}=\dfrac12\widehat{BAC}=30^o$

Ta có: $\widehat{CAM}=90^o-\widehat{CAB}=90^o-60^o=30^o$

$\to \widehat{HAC}=\widehat{CAM}$

Xét $\Delta AHC,\Delta ACN$ có:

$\widehat{CAH}=\widehat{CAM}=\widehat{CAN}$

Chung $AC$

$\widehat{CHA}=\widehat{CNA}(=90^o)$

$\to \Delta ACH=\Delta ACN$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AH=AN$

$\to \Delta AHN$ cân tại $A$

Mà $\widehat{HAN}=\widehat{HAC}+\widehat{CAN}=60^o$

$\to \Delta ANH$ đều

d.Ta có: $\Delta ABC$ đều cạnh $10cm, AH\perp BC$

$\to AH=\dfrac{10\sqrt3}2$

Mà $\Delta AHN$ đều

$\to HN=\dfrac{10\sqrt3}2$