a)

$\Delta MDC$ có $AB\,\,||\,\,DC$

$\to \dfrac{MA}{MD}=\dfrac{AB}{DC}$ ( hệ quả định lý Ta – let )

$\to \dfrac{MA}{MD}=\dfrac{2NA}{2QD}$

$\to \dfrac{MA}{MD}=\dfrac{NA}{QD}$

Xét $\Delta MAN$ và $\Delta MDQ$, ta có:

$\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{NA}{QD}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{MAN}=\widehat{MDQ}$ ( hai góc đồng vị )

$\to \Delta MAN\backsim\Delta MDQ\,\,\,\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{AMN}=\widehat{DMQ}$

$\to M,N,Q$ thẳng hàng

Vậy $AD,BC,QN$ đồng quy tại $M$

b)

$\Delta PDC$ có $AB\,\,||\,\,DC$

$\to \dfrac{PA}{PC}=\dfrac{AB}{CD}$ ( hệ quả định lý Ta – let )

$\to \dfrac{PA}{PC}=\dfrac{2NA}{2QC}$

$\to \dfrac{PA}{PC}=\dfrac{NA}{QC}$

Xét $\Delta PAN$ và $\Delta PCQ$, ta có:

$\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{AN}{CQ}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{PAN}=\widehat{PCQ}$ ( hai góc so le trong )

$\to \Delta PAN\backsim\Delta PCQ\,\,\,\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{APN}=\widehat{CPQ}$ ( hai góc tương ứng )

Mà $\widehat{CPQ}+\widehat{APQ}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )

$\to \widehat{APN}+\widehat{APQ}=180{}^\circ $

$\to \widehat{NPQ}=180{}^\circ $

$\to $ba điểm $N,P,Q$ thẳng hàng

Mà ba điểm $M,P,Q$ cũng thẳng hàng

Vậy bốn điểm $M,N,P,Q$ thẳng hàng

$\bullet \,\,\,\,\,$Đây là bổ đề về hình thang

Đáp án:

)

ΔMDCΔMDC có AB||DCAB||DC

→MAMD=ABDC→MAMD=ABDC ( hệ quả định lý Ta – let )

→MAMD=2NA2QD→MAMD=2NA2QD

→MAMD=NAQD→MAMD=NAQD

Xét ΔMANΔMAN và ΔMDQΔMDQ, ta có:

MAMD=NAQD(cmt)MAMD=NAQD(cmt)

ˆMAN=ˆMDQMAN^=MDQ^ ( hai góc đồng vị )

→ΔMAN∽ΔMDQ(c.g.c)→ΔMAN∽ΔMDQ(c.g.c)

→ˆAMN=ˆDMQ→AMN^=DMQ^

→M,N,Q→M,N,Q thẳng hàng

Vậy AD,BC,QNAD,BC,QN đồng quy tại MM

b)

ΔPDCΔPDC có AB||DCAB||DC

→PAPC=ABCD→PAPC=ABCD ( hệ quả định lý Ta – let )

→PAPC=2NA2QC→PAPC=2NA2QC

→PAPC=NAQC→PAPC=NAQC

Xét ΔPANΔPAN và ΔPCQΔPCQ, ta có:

PAPC=ANCQ(cmt)PAPC=ANCQ(cmt)

ˆPAN=ˆPCQPAN^=PCQ^ ( hai góc so le trong )

→ΔPAN∽ΔPCQ(c.g.c)→ΔPAN∽ΔPCQ(c.g.c)

→ˆAPN=ˆCPQ→APN^=CPQ^ ( hai góc tương ứng )

Mà ˆCPQ+ˆAPQ=180∘CPQ^+APQ^=180∘ ( hai góc kề bù )

→ˆAPN+ˆAPQ=180∘→APN^+APQ^=180∘

→ˆNPQ=180∘→NPQ^=180∘

→→ba điểm N,P,QN,P,Q thẳng hàng

Mà ba điểm M,P,QM,P,Q cũng thẳng hàng

Vậy bốn điểm M,N,P,QM,N,P,Q thẳng hàng