a)

Vì $KA,KB$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$

$\to \widehat{KAO}=\widehat{KBO}=90{}^\circ $

$\to KAOB$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{MKA}=\widehat{MBO}$ ( cùng chắn cung $AO$ )

Xét $\Delta MKA$ và $\Delta MBO$, ta có:

$\widehat{MKA}=\widehat{MBO}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{KMA}=\widehat{BMO}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\to \Delta MKA\backsim\Delta MBO\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{MK}{MB}=\dfrac{MA}{MO}$

$\to MA.MB=MK.MO\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Bốn điểm $A,I,B,D\,\,\in \,\,\left( O \right)$

$\to \widehat{MBI}=\widehat{MDA}$ ( cùng chắn cung $AI$ )

Xét $\Delta MBI$ và $\Delta MDA$, ta có:

$\widehat{MBI}=\widehat{MDA}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{BMI}=\widehat{DMA}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\to \Delta MBI\backsim\Delta MDA\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{MB}{MD}=\dfrac{MI}{MA}$

$\to MA.MB=MD.MI\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta được:

$\,\,\,\,\,\,\,MK.MO=MD.MI$

$\to \dfrac{MK}{MD}=\dfrac{MI}{MO}$

Xét $\Delta MKI$ và $\Delta MDO$, ta có:

$\dfrac{MK}{MD}=\dfrac{MI}{MO}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{KMI}=\widehat{DMO}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\to \Delta MKI\backsim\Delta MDO\,\,\,\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{MKI}=\widehat{MDO}$ ( hai góc tương ứng )

Mà hai góc này cùng nhìn cạnh $OI$

Nên $KIOD$ là tứ giác nội tiếp

b)

Vì $KIOD$ là tứ giác nội tiếp

$\to\begin{cases}\widehat{DKO}=\widehat{DIO}\,\,\,\left(\text{ cùng chắn cung DO }\right)\\\widehat{IKO}=\widehat{IDO}\,\,\,\left(\text{ cùng chắn cung IO }\right)\end{cases}$

Mà: $\widehat{DIO}=\widehat{IDO}$ ( vì $\Delta OID$ cân tại $O$ )

Nên: $\widehat{DKO}=\widehat{IKO}$

Hay: $KO$ là tia phân giác $\widehat{IKD}$